ガウス積分のソースを表示

== 概要 ==
ガウス分布(正規分布)に対する積分をガウス積分と呼ぶ。<br>
積分範囲が <math>\infty</math> に及ぶため、広義積分である。<br>
<br><br>

== 極座標の広義積分 ==
<math>\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) \ | \ 0 \le x^{2} + y^{2} \le \infty, - \infty \le x \le \infty, \ - \infty \le y \le \infty \}</math><br>
<br>
==== 直交直線座標から円座標への変換 ====
直交直線座標 <math>(x, y)</math> から円座標 <math>(r, \theta)</math> への変換は次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
==== ヤコビアン ====
2重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算して <math>dx dy</math> と <math>dr d \theta</math> の関係式を求める必要がある。<br>
<math>
\begin{align}
J &= 
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix} \\
  &= 
\begin{vmatrix}
\cos{\theta} & -r \sin{\theta} \\
\sin{\theta} & r \cos{\theta}
\end{vmatrix} \\
  &= r \cos^{2}{\theta} + r \sin^{2}{\theta} \\
  &= r
\end{align}
</math><br>
したがって、<math>dxdy = r dr d \theta</math>となる。<br>
<br>
==== 求め方 ====
円が含まれる場合は、極座標変換 <math>x = r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta}(r \ge 0, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。<br>
変換後の積分範囲D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r \le \infty, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \}</math> の形に変形でき、2重積分を計算することができる。<br>
<br>
<math>
\begin{align}
& \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \\
=& \iint_{D'} e^{- r^2 \cos^{2}{\theta} - r^2 \sin^{2} \theta } r \ drd \theta \\
=& \iint_{D'} e^{-r^2} r \ drd \theta \qquad \because \cos^{2}{\theta} + \sin^{2} \theta = 1 \\
=& \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\infty} {e^{-r^2}} r \ dr \\
=& 2 \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-r^2}} r \ dr \qquad \cdots (1)
\end{align}
</math><br>
<br>
ここで、<math>t = r^{2}</math> として変数変換を行う。<br>
<math>\frac{dt}{dr} = 2r</math> より、<math>\frac{1}{2} dt  = r dr</math> となる。<br>
また、<math>r = 0, \, r = \infty</math> の時、積分範囲は次式となる。<br>
<math>
\begin{cases}
r = 0 &\implies t = 0 \\
r = \infty &\implies t = \infty \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
上記の変数変換により、上式(1)は次のように計算することができる。<br>
<math>
\begin{align}
& \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-t}} \ dt \\
=& - \pi \big[ e^{-t} \Big]_{0}^{\infty} \\
=& - \pi (0 - 1) \\
=& \pi
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== ガウス積分 ==
<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- x^{2}}} \ dx</math><br>
<br>
極座標における広義積分 <math>\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy = \pi</math> より、次式のように分けることができる。<br>
この時、積分変数の文字は何でもよい。<br>
<br>
<math>
\begin{align}
& \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \\
=& \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-y^{2}}} \ dy \qquad \cdots (1)
\end{align}
</math><br>
<br>
(1)式より、次式のように考えることができる。<br>
<math>
\begin{align}
& \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-y^{2}}} \ dy \\
=& \left( \int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx \right)^{2} = \pi \qquad \cdots (2)
\end{align}
</math><br>
<br>
(2)式より、次式が求められる。<br>
<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx = \sqrt{\pi}</math><br>
<br><br>


__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]