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「回路計算 - ブール代数」の版間の差分
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→双対論理式
(ページの作成:「== 概要 == ブール代数は、19世紀にジョージ・ブールによって考案された数学的体系であり、論理演算の基礎となる重要な代数体系である。<br> <br> ブール代数の概念は、値として0 (偽)と 1 (真) のみを扱い、これらの値に対して論理演算を適用することである。<br> 主要な演算として、論理和 (OR、+で表記)、論理積 (AND、・で表記)、否定 (NOT、上線で表…」) |
(→双対論理式) |
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== 双対論理式 == | == 双対論理式 == | ||
双対論理式は、元の論理式に対して、以下に示す変換を行って得られる式である。<br> | |||
* <math>0 \rightarrow 1, \, \, 1 \rightarrow 0</math><br> | * 全ての論理和 (+) と 論理積 (・) を入れ替える。 | ||
* <math>\cdot \rightarrow +, \, \, + \rightarrow \cdot</math><br> | *: <math>0 \rightarrow 1, \, \, 1 \rightarrow 0</math><br> | ||
* 全ての0と1を入れ替える。 | |||
*: <math>\cdot \rightarrow +, \, \, + \rightarrow \cdot</math><br> | |||
* 変数 (A, B, C等) はそのままにする。 | |||
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式 <math>X</math> の双対論理式は <math>X^d</math> と表す。<br> | 式 <math>X</math> の双対論理式は <math>X^d</math> と表す。<br> | ||
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例えば、<math>(x + y) \cdot z</math> の双対論理式は、<math>x \cdot y + z</math> になる。<br> | |||
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例題 1: | |||
次の論理式について考える。 | |||
<math>X = A + A \cdot B</math> | |||
この式の双対論理式は、<math>X^d = A \cdot (A + B)</math> となる。 | |||
これは吸収則により、どちらもAに簡単化できる。 | |||
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例題 2: | |||
<math>X = (A + B) \cdot (A + C) + 1</math> | |||
この式の双対論理式は、<math>X^d = (A \cdot B) + (A \cdot C) \cdot 0</math> | |||
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ある論理式が恒真 (常に1) であれば、その双対論理式は恒偽 (常に0) となる。<br> | |||
これは、双対性の重要な性質の1つである。<br> | |||
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ド・モルガンの法則も双対性の観点から理解することができる。<br> | |||
これらの式は互いに双対の関係にあり、片方が成り立てば必然的にもう片方も成り立つ。<br> | |||
* <math>\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}</math> | |||
* <math>\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}</math> | |||
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実際の回路設計では、この双対性を利用することにより、NANDゲートのみで構成された回路をNORゲートのみの回路に変換することや、その逆を行うことができる。<br> | |||
これは製造プロセスや性能要件に応じて、最適なゲート構成を選択する場合に役立つ。<br> | |||
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