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「統計学 - 二項分布」の版間の差分
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→期待値および分散
(ページの作成:「== 概要 == 二項分布は、成功か失敗のいずれかの結果しかない試行 (ベルヌーイ試行と呼ばれる) を複数回実施した場合の、成功回数の分布を表現する。<br> <br> 二項分布の表現として、確率質量関数 <math>P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}</math> を用いる。<br> ここで、nは試行回数、kは成功回数、pは1回の試行における成功確率を表す。<br> <br> この式中の…」) |
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なお、二項分布は、より一般的なポアソン分布や超幾何分布の特殊なケースとしても位置付けられる。<br> | なお、二項分布は、より一般的なポアソン分布や超幾何分布の特殊なケースとしても位置付けられる。<br> | ||
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== 二項定理 == | |||
二項定理は代数学の定理の1つであり、2つの数値や文字の和の累乗を展開する方法を示すものである。<br> | |||
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基本的な形は、<math>(a + b)^{n}</math> の展開を表し、次のような形になる。<br> | |||
<math>(a + b)^{n} = \dbinom{n}{0} a^n + \dbinom{n}{1} a^{n-1} b + \dbinom{n}{2} a^{n-2} b^{2} + \cdots + \dbinom{n}{n-1} ab^{n-1} + \dbinom{n}{n} b^{n}</math><br> | |||
したがって、<math>(a + b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^{k} b^{n-k}</math><br> | |||
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* <math>(a + b)^{2}</math> の場合 | |||
*: <math>(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}</math> | |||
* <math>(a + b)^{3}</math> の場合 | |||
*: <math>(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3}</math> | |||
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この定理の応用は広く、確率論 (二項分布の計算) や、多項式の展開、近似計算等で使用される。<br> | |||
また、パスカルの三角形と密接な関係があり、係数の計算に活用される。<br> | |||
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<math<(a + b)^{n}</math> の展開式の第 <math>r + 1</math> 項 <math>\dbinom{n}{k} a^{n-r} b^{r}</math> を <math>(a + b)^{n}</math> の展開式の一般項という。<br> | |||
また、<math>\dbinom{n}{k}</math> を二項係数という。<br> | |||
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== パスカルの三角形 == | |||
パスカルの三角形は、組み合わせの数を表現する数学的な図形であり、二項係数を簡単に求めることができる便利なツールである。<br> | |||
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三角形の各数は、その上にある2つの数の和として計算される。<br> | |||
例えば、20という数字は、その上にある10と10の和として得られる。<br> | |||
各行の数字は、二項展開の係数と一致する。<br> | |||
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また、パスカルの三角形の性質を以下に示す。<br> | |||
* 各行は左右対称である。 | |||
* 端の数は常に1 | |||
* 2番目の斜めの数 (1, 2, 3, 4, 5, ...) は自然数の列になる。 | |||
* 各行の合計は2の冪乗 | |||
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