応用数学 - 定数係数2階線形常微分方程式

概要

線形微分方程式とは、$f_{1}(x),\ f_{2}(x),\ \cdots ,\ f_{n}(x),\ g(x)$ をxのみの関数とする。
この時、以下の形の微分方程式をN階線形常微分方程式という。

${\frac {dy^{(n)}}{dx}}+f_{1}(x){\frac {dy^{(n-1)}}{dx}}+\cdots +f_{(n-1)}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{n}(x)y=g(x)\quad \cdots \quad (1)$

上式において、$g(x)=0$ の時を同次方程式、$g(x)\neq 0$ の時を非同次方程式と呼ぶ。

線形常微分方程式には、連立1次方程式の解の構造との類似性があり、線形代数とのアナロジーがある。
定数係数2階線形常微分方程式は、電磁気学、動力学、量子力学、振動現象等の記述に現れる。

解の存在と一意性

定理（存在定理） :
xのみの関数 $f_{1}(x),\ f_{2}(x),\ \cdots \ f_{n}(x),\ g(x)$ が、区間Iで連続とする。
この時、I内の点 $x=a$ における以下の初期条件のもとで、以下のN階線形常微分方程式の解は区間Iでただ1つ存在する。

初期条件 ：
$y(a)=b_{0},\quad {\frac {dy(a)}{dx}}=b_{1},\cdots {\frac {dy^{(n-1)}(a)}{dx}}=bn-1$

N階線形常微分方程式 ：
${\frac {dy^{(n)}}{dx}}+f_{1}(x){\frac {dy^{(n-1)}}{dx}}+\cdots +f_{(n-1)}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{n}(x)y=g(x)\quad \cdots \quad (1)$