線形代数の基礎 - 固有値 固有ベクトル

固有値 / 固有ベクトルの定義

固有値・固有ベクトルの定義

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A \vec{x} =\lambda \vec{x}}

が成立する時、${\vec {x}}$ を行列Aの固有ベクトル、$\lambda$ を行列Aの固有値という。

ただし、Aは正方行列、${\vec {x}}$ は ${\vec {0}}$ でないベクトル、$\lambda$ はスカラーである。

固有空間の定義

固有値および固有ベクトルに関連する概念として、固有空間がある。

固有空間の定義

正方行列Aの固有値 $\lambda$ に対して、
$W_{\lambda }=\{\,{\vec {x}}\,|\,A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}\,\}$
で定まる線型空間 $W_{\lambda }$​ のことを、Aの固有値λの固有空間という。

つまり、固有空間とは同じ固有値λに対応する固有ベクトルを集めた集合である。
ただし、ゼロベクトルも固有空間の元である。

特性方程式

• 固有値を求めるために必要な定理

$\lambda$ が 行列Aの固有値 $\iff {\mbox{det}}(A-\lambda I)=0$
この ${\mbox{det}}(A-\lambda I)=0$ を行列Aの特性方程式 (固有方程式) という。

固有値の求め方

例題.

$A={\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}}$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答.

$A-\lambda I={\begin{pmatrix}3-\lambda &1\\2&2-\lambda \end{pmatrix}}$

したがって、特性方程式は
${\begin{aligned}(3-\lambda )(2-\lambda )-2&=0\\\lambda ^{2}-5\lambda +4&=0\\(\lambda -1)(\lambda -4)&=0\end{aligned}}$

$\therefore \lambda =1,4$

したがって、固有値は $\lambda =1,\,4$ となる。

固有ベクトルの求め方

例題. $A={\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}}$ において $\lambda =1$ に対応する固有ベクトル

$(A-I){\vec {x}}={\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}=0$
の解が固有ベクトルである。

${\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=0$

${\begin{cases}2x+y&=0\\2x+y&=0\\\end{cases}}$

より、$x=1,\,y=-2$

固有ベクトルは ${\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}$ の定数倍

例題. $\lambda =4$ に対応する固有ベクトル
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (A - 4I) \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \vec{x} = 0}

の解が固有ベクトルである。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0  }


構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{cases}  -x + y &= 0 \\  2x - 2y &= 0 \\  \end{cases}  }


より、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x = 1, \, y = 1}


固有ベクトルは 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}
 の定数倍

※注意
3次の正方行列の場合、特性方程式が3次方程式になり、固有ベクトルを3本求める必要がある。