線形代数の基礎 - 固有値固有ベクトル

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概要

固有値 / 固有ベクトルの定義

固有値・固有ベクトルの定義

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A \vec{x} =\lambda \vec{x}}

が成立する時、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
 を行列Aの固有ベクトル、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda}
 を行列Aの固有値という。

ただし、Aは正方行列、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
 は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{0}}
 でないベクトル、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda}
 はスカラーである。

固有空間の定義

固有値および固有ベクトルに関連する概念として、固有空間がある。

固有空間の定義

正方行列Aの固有値 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda}
 に対して、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W_{\lambda} = \{ \, \vec{x} \, | \, A \vec{x} = \lambda \vec{x} \, \}}

で定まる線型空間 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W_{\lambda}}
 のことを、Aの固有値λの固有空間という。

つまり、固有空間とは同じ固有値λに対応する固有ベクトルを集めた集合である。
ただし、ゼロベクトルも固有空間の元である。

特性方程式

固有値を求めるために必要な定理

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda} が行列Aの固有値構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \iff \mbox{det} (A - \lambda I) = 0}
この構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{det} (A - \lambda I) = 0} を行列Aの特性方程式 (固有方程式) という。

固有値の求め方

例題.

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}}
 の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答.

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 2 & 2 - \lambda \end{pmatrix}}


したがって、特性方程式は
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{align}  (3 - \lambda)(2 - \lambda) - 2 &= 0 \\  \lambda^{2} - 5 \lambda + 4 &= 0 \\  (\lambda - 1)(\lambda - 4) &= 0  \end{align}  }


構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle  \therefore \lambda = 1, 4}

したがって、固有値は $\lambda =1,\,4$ となる。

固有ベクトルの求め方

例題.  $\lambda =1$  に対応する固有ベクトル

 $(A-I){\vec {x}}={\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}=0$ 
の解なので固有ベクトルは  ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$  の定数倍

例題.  $\lambda =4$  に対応する固有ベクトル
 $(A-4I){\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}}{\vec {x}}=0$ 
の解なので固有ベクトルは  ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$  の定数倍

※注意
3次の正方行列の場合、特性方程式が3次方程式になり、固有ベクトルを3本求める必要がある。

線形代数の基礎 - 固有値 固有ベクトル

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