数列 - 等差数列・等比数列・階差数列

階差数列

基本

元の数列の隣り合う項の差を順番に並べたものを第1階差数列と呼ぶ。
$a_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ と表す。

第1階差数列から、さらに階差を取ったものを第2階差数列と呼ぶ。
これを繰り返すことで第3、第4...階差数列が得られる。

例:

原数列:  2, 5, 10, 17, 26, 37
第1階差:  3,  5,  7,  9,  11
第2階差:     2,  2,  2,  2

性質

等差数列の第1階差数列は、定数列になる。
等比数列の第1階差数列は、元の数列の定数倍になる。
n次式で表される数列の第n階差数列は、定数列になる。

活用方法

• 数列のパターンを見つける場合
• 与えられた数列が何次式で表されるかを判断できる。
• 数列の一般項を求める場合のヒントになる。

応用例

数列 2, 5, 10, 17, 26, 37 の一般項を求める場合、第2階差が定数列であるため、2次式で表されることがわかる。
これは、$a_{n}=\alpha n^{2}+\beta n+\gamma$ の形で表される。

計算により、
$b_{n}=3+2(n-1)=2n+1$
${\begin{alignedat}{2}a_{n}&=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}{b_{k}}\\&=2+\sum _{k=1}^{n-1}{2n+1)}\\&=2+2\sum _{k=1}^{n-1}{n}+\sum _{k=1}^{n-1}{1}\\&=2+2\cdot {\frac {n(n+1)}{2}}+(n-1)\\&=2+n(n-1)+n-1\\&=n^{2}+1\end{alignedat}}$

したがって、$a_{n}=n^{2}+1$ と求められる。

階差数列の考え方を用いれば、複雑に見える数列でもその規則性を見つけやすくなる。
特に、多項式で表される数列の分析に効果的である。