ロルの定理

最大値の定理

定理 :

有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ。

ロルの定理

定理 :

区間 $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能、$f(a)=f(b)$ である関数 $f(x)$ に対して、

$a<c<b$ なる $c$ で ${\frac {df(c)}{dx}}=0$ を満たす $c$ が存在する。

証明 :

* $f(x)$ が区間内で定数関数の時、$a<c<b$ なる任意の $c$ で ${\frac {df(c)}{dx}}=0$ となる。

* $f(a)<f(t)$ なる $t$ が存在する時、最大値の定理より、$a<c<b$ で $c$ が最大となるような $c$ が存在する。
この時、${\frac {df(c)}{dx}}=0$ を証明する。

$f(x)$ が $x=c$ で微分可能であることと、$f(c)\geqq f(c+h)$ より、
${\frac {df(c)}{dx}}=\lim {h\to +0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leqq 0$
${\frac {df(c)}{dx}}=\lim {h\to -0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geqq 0$
つまり、
${\frac {df(c)}{dx}}=0$

* $f(a)>f(t)$ なる $t$ が存在する時も同様 （最小値を考える）

平均値の定理

定理 :

区間 $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して、
$a<c<b$ なる $c$ で ${\frac {df(c)}{dx}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ を満たす $c$ が存在する。

$f(a)=f(b)$ なる関数に、平均値の定理を用いるとロルの定理が出てくる。
つまり、平均値の定理はロルの定理の一般化である。

平均値の定理はロルの定理の一般化と看做せるが、ロルの定理から簡単に導出することもできる。
ロルの定理を用いるために、関数 $f(x)$ に1次関数を加えてロルの定理の条件「両端の値が等しい」ことを満たすような関数 $g(x)$ を作る。

証明 :

関数 $g(x)=f(x)+Ax$ を考える。
$g(a)=g(b)$ となるような $A$ を探す。

$f(a)+Aa=f(b)+Ab$
$\implies A(a-b)=f(b)-f(a)$
$\implies A={\frac {f(b)-f(a)}{a-b}}$
$\implies A=-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

つまり、$g(x)=f(x)-x{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ ​という関数は、$g(a)=g(b)$ を満たす。
したがって、ロルの定理が使用することができ、$a<c<b$ なる $c$ で ${\frac {dg(c)}{dx}}=0$ を満たす $c$ が存在する。

${\frac {dg(c)}{dx}}={\frac {df(c)}{dx}}-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ であるため、平均値の定理は示される。