回路計算 - RL直列回路

概要

RL直列回路は電源を投入すると過渡現象が起こるため、回路に流れる電流は時間的に変化して、ある程度の時間が経過すると一定値になる。
このような時間的に変化する過渡現象の電圧や電流を求める時は、以下のような手順で解く。

1. 対象の回路の回路方程式をたてる。
2. 初期条件を考慮して微分方程式または積分方程式を解く。

ここでは、RL直列回路に流れる電流と電圧を、ラプラス変換を用いて求める。

電流の求め方

まず、RL直列回路の回路方程式をたてる。

回路に流れる電流を$i(t)[A]$、$i(0)=0[A]$とする時、次式(1)の微分方程式となる。
$Ri(t)+L{\frac {di(t)}{dt}}=E$ …(1)

(1)式をラプラス変換すると以下となる。
${\begin{aligned}RI(s)+sLI(s)-i(0)&={\frac {E}{s}}\\RI(s)+sLI(s)&={\frac {E}{s}}\end{aligned}}$
${\begin{aligned}I(s)(R+sL)&={\frac {E}{s}}\\I(s)&={\frac {E}{s(R+sL)}}\\I(s)&={\frac {E}{L}}{\frac {1}{s(s+{\frac {R}{L}})}}\dots {\mbox{(2)}}\end{aligned}}$

上式(2)において、部分分数分解を行う。
${\frac {1}{s(s+{\frac {R}{L}})}}={\frac {A}{s}}+{\frac {B}{s+{\frac {R}{L}}}}$ より、
$A={\frac {L}{R}},B=-{\frac {L}{R}}$ となる。

したがって、(2)式は次式(3)に変形される。
${\begin{aligned}I(s)&={\frac {E}{L}}{\frac {1}{s(s+{\frac {R}{L}})}}\\&={\frac {E}{L}}{\frac {L}{R}}({\frac {1}{s}}-{\frac {B}{s+{\frac {R}{L}}}})\\&={\frac {E}{R}}({\frac {1}{s}}-{\frac {B}{s+{\frac {R}{L}}}})\dots {\mbox{(3)}}\end{aligned}}$

最後に、上式(3)を逆ラプラス変換する。
$i(t)={\frac {E}{R}}(1-e^{-{\frac {R}{L}}t})$

したがって、RL直列回路に流れる電流i(t)は、時間が経つにつれて増加が緩やかになる。

下図に示すように、RL直列回路に流れる電流i(t)は0から始まり、ある程度の時間が経過する(定常状態に達する)とE/Rの大きさの電流が流れ続ける。
つまり、定常状態に達すると、コイルLは短絡されているのと同じということになる。

また、RL直列回路の時定数τは、$\tau ={\frac {L}{R}}$である。

抵抗Rに掛かる電圧の求め方

RL直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

抵抗Rにかかる電圧E_R(t)[V]は、次式となる。
${\begin{aligned}E_{R}(t)&=i(t)R\\&={\frac {E}{R}}(1-e^{-{\frac {R}{L}}t})R\\&=E(1-e^{-{\frac {R}{L}}t})\end{aligned}}$

抵抗Rの電圧のグラフにおいて、電圧E_R(t)はi(t)にRを乗算しただけなので、i(t)と同じような形のグラフになる。
抵抗Rの電圧は0[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさはE[V]になる。
したがって、電源の電圧がすべて抵抗Rに掛かることになる。

つまり、定常状態に達するとコイルLが無い場合と同様(コイルが短絡された状態と同じ)ということになる。

コイルLに掛かる電圧の求め方

RL直列回路に流れる電流i(t)は、上記のセクションで求めた式を使用する。

コイルLにかかる電圧E_L(t)[V]は、次式となる。
${\begin{aligned}E_{L}(t)&=L{\frac {di(t)}{dt}}\\&=L({\frac {E}{R}}(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}))'\\&={\frac {LE}{R}}(-{\frac {R}{L}})e^{-{\frac {R}{L}}t}\\&=Ee^{-{\frac {R}{L}}t}\end{aligned}}$

コイルLの電圧E_L(t)のグラフは、電圧はE[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達する)と、電圧の大きさは0[V]になる。

したがって、電源を投入した直後は、電源の電圧がすべてコイルLに掛かるが、定常状態に達すると、
コイルLには電圧がかからず、電源の電圧はすべて抵抗Rにかかる。