概要
階差数列
基本
元の数列の隣り合う項の差を順番に並べたものを第1階差数列と呼ぶ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_n = a_{n + 1} - a_n}
と表す。
第1階差数列から、さらに階差を取ったものを第2階差数列と呼ぶ。
これを繰り返すことで第3、第4...階差数列が得られる。
例: 原数列: 2, 5, 10, 17, 26, 37 第1階差: 3, 5, 7, 9, 11 第2階差: 2, 2, 2, 2
性質
等差数列の第1階差数列は、定数列になる。
等比数列の第1階差数列は、元の数列の定数倍になる。
n次式で表される数列の第n階差数列は、定数列になる。
活用方法
- 数列のパターンを見つける場合
- 与えられた数列が何次式で表されるかを判断できる。
- 数列の一般項を求める場合のヒントになる。
応用例
数列 2, 5, 10, 17, 26, 37 の一般項を求める場合、第2階差が定数列であるため、2次式で表されることがわかる。
これは、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_n = \alpha n^2 + \beta n + \gamma}
の形で表される。
計算により、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_n = 3 + 2(n -1) = 2n + 1}
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{alignat}{2} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {b_k} \\ &= 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {2n + 1)} \\ &= 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} {n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} {1} \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{n (n + 1)}{2} + (n - 1) \\ &= 2 + n(n - 1) + n - 1 \\ &= n^2 + 1 \end{alignat} }
したがって、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_n = n^2 + 1}
と求められる。
階差数列の考え方を用いれば、複雑に見える数列でもその規則性を見つけやすくなる。
特に、多項式で表される数列の分析に効果的である。