線形代数の基礎 - 変換行列

概要

線形代数において、回転行列とは、ユークリッド空間内における原点中心の回転変換の表現行列のことである。

2次元や3次元では、幾何学、物理学、コンピュータグラフィックスの分野での計算によく使用される。

N次元空間における回転行列は、実数を成分とする正方行列であり、行列式が1のN次直交行列として特徴付けられる。
${}^{t}\!R=R^{-1},\;\det R=1.$

2次元の回転行列

ユークリッド空間の2次元空間では、原点中心のθ回転(反時計回りを正)の回転行列は、以下の形で表すことができる。
$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$

これは、原点中心にθ回転して点(x, y)が(x', y')に写る時、図形的考察または加法定理より、x', y'は以下のように表される。
$x'=x\cos \theta -y\sin \theta$
$y'=x\sin \theta +y\cos \theta$

これを行列の積で表すと、以下のようになる。
${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

逆の回転は、回転角が-θとなるだけなので、
$R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos(-\theta )&-\sin(-\theta )\\\sin(-\theta )&\cos(-\theta )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$
となる。

また、回転行列には、行列の指数関数を用いた表示もある。
$R(\theta )=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right)$