統計学 - 連続型確率分布

確率密度

離散型でのサンプル数を増加させて、各区間の幅を減少させた時のヒストグラムの極限 (幅を0に近付ける) が連続型での確率密度の曲線になる。
連続型での確率密度の値は、離散型でのヒストグラムの縦軸の値に相当する。

離散型での確率関数Piの代わりに、連続型では確率密度 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)} を用いる。

連続型での確率密度 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)} は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx} と積分することにより確率となる。

確率密度 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)} 単体は、各xの値の発生確率に比例する相対値の意味である。

例えば、サイコロの目が $X=1,2,3,4,5,6$ ではなく、0～6の間の実数値とする場合、0～6の間の実数は無限個 (全体集合の個数 $n(U)=\infty$ ) となる。
つまり、0～6の間の実数Xを1つ取る時、その確率は、${\dfrac {1}{n(U)}}={\dfrac {1}{\infty }}=0$ となる。
連続型では、ある実数1つを取る確率は0となる。

しかし、$1\leq x\leq 3$ の実数の範囲とする時、その確率は、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dfrac{1 \le x \le 3}{0 \le x \le 6} = \dfrac{1}{3}} となる。

連続型では、離散型での確率関数Piで確率が計算できない。(実数1つの確率が連続型では必ず0のため)

連続型では、次式のように、実数の範囲の確率を積分で考える。
つまり、確率密度関数f(x)の面積で確率を考える。
$P(a\leq x\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

• 離散型では全確率関数の和 (= 1)

  $\sum _{i=1}^{n}P_{i}=1$

• 連続型では実数の全範囲の積分 (= 1)

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P(-\infty \le x \le \infty) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1}

累積分布関数

• 離散型での累積分布関数

  xより小さい確率変数の実現値xiに対応する確率関数Piの和

  $F(x)=\sum _{x_{i}\leq x}P_{i}$

• 連続型での累積分布関数

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt}

累積分布関数のグラフ

連続型での累積分布関数
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(a) = \int_{-\infty}^{a} f(t) \, dt}

累積分布関数の性質

累積分布関数F(x)は、単調に増加する。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a \le b} ならば、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(a) \le F(b)}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F(\infty) = 0, \quad F(\infty) = 1}

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} P(a \le x \le b) &= \int_{a}^{b} f(x) \, dx \\ &= \int_{-\infty}^{b} f(x) \, dx - \int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx \\ &= F(b) - F(a) \end{align} }

連続型確率分布の期待値

• 離散型での期待値

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mu = E[X] = \sum_{i=1}{n} x_i \cdot P_i = x_1 P_1 + x_2 P_2 + \cdots + x_n P_n}

• 連続型での期待値

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mu = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx}

連続型確率分布の分散

• 離散型での分散

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma^2 = V[X] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^{2} \cdot P_i = (x_1 - \mu)^{2} \cdot P_1 + (x_2 - \mu)^{2} \cdot P_2 + \cdots + (x_n - \mu)^{2} \cdot P_n}

• 連続型での分散

  構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma^2 = V[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^{2} \cdot f(x) \, dx = E[X^2] - E[X] \cdot E[X]}

離散型確率分布および連続型確率分布の両方において、標準偏差σは 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma = \sqrt{V[X]}} である。