応用数学 - 高階線形常微分方程式

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概要

3階以上の常微分方程式は、基本的には2階常微分方程式と変わらない。

より高階の微分方程式構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d^{n} f(x)}{dx^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} f(x)}{dx^{n - 1}} + a_{n - 2} \frac{d^{n - 2} f(x)}{dx^{n - 2}} + \cdots + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)} の形の常微分方程式を考える。

このように、最高階の常微分方程式について解かれているものを正規形と呼ぶ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b(x) = 0} の時、同次方程式であるという。

2階線形常微分方程式ならば、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)} である。

高階定数係数線形同次常微分方程式

n階定係数線形同次微分方程式 ${\frac {d^{n}f(x)}{dx}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}f(x)}{dx}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {df(x)}{dx}}+a_{n}f(x)=0$ の一般解は、
基本解(n個の線形独立な解の組) $(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})$ を用いて、次式のように表現することができる。

$y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+\cdots +C_{n}y_{n}\qquad (C_{i}:{\mbox{ 任意定数 }})$

n階定係数線形同次微分方程式の解全体は、n次元線形空間をつくる。

この方程式の基本解(n個の線形独立な解の組) $(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})$ は、
この方程式の特性方程式 $\lambda _{n}+a_{1}\lambda _{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}=0$ を解くことによって求めることができる。

高階定数係数線形同次常微分方程式の例題

例題 1

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
 ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-3{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}=0$ 

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
 $\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+2\lambda =0$ 

これを解くと、  $\lambda (\lambda ^{2}-3\lambda +2)=0$  より、  $\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)=0$  より、  $\lambda =0,1,2$  となる。

これより、基本解は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (1, \, e^{x}, \, e^{2x})}
 となる。
したがって、一般解は次のようになる。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = C_{1} + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{2x} \qquad (C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 })}

例題 2

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d^{3} y}{dx^{3}} - 2 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} - \frac{dy}{dx} + 2y = 0}


解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - \lambda + 2 = 0}


これを解くと、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda^{2} (\lambda - 2) - (\lambda - 2) = 0}
 より、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \begin{array}{lcl}  (\lambda^{2} - 1)(\lambda - 2) &= 0 \\  (\lambda + 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0  \end{array}  }

より、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda = -1, \, 1, \, 2}
 となる。

これより、基本解は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (e^{-x}, \, e^{x}, \, e^{2x})}
 となる。
したがって、一般解は次のようになる。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = C_{1} e^{-x} + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{2x} \qquad (C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 })}

例題 3

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d^{3} y}{dx^{3}} + 2 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} = 0}


解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda^{3} + 2 \lambda^{2} + \lambda = 0}


これを解くと、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda (\lambda + 1)^{2} = 0}
 より、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda = 0, \, \lambda = -1 \quad ( \mbox{ 重 解 } )}

となる。

これより、基本解は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (1, \, e^{-x}, \, x e^{-x})}
 となる。
したがって、一般解は次のようになる。

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = C_{1} + C_{2} e^{-x} + C_{3} x e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 } )}