応用数学 - 特殊関数

概要

• 誤差関数について理解する。
• ガンマ関数について理解する。
• 単位階段関数について理解する。
• デルタ関数について理解する。
• 双曲線関数について理解する。

特殊関数とは

特殊関数(special functions)とは、特定の分野で何らかの名前や記法が定着している関数のことを指す。
何が特殊関数であるかのはっきりした定義は存在しない。

しばしば特殊関数として扱われるものには、ガンマ関数、ベッセル関数、ゼータ関数等がある。

特殊関数という用語は、初等関数の対義語ではない。
ある関数が初等関数であって同時に特殊関数とされる場合もある。

• ラプラス変換で扱う特殊関数

  ラプラス変換では、以下のような特殊関数を扱う。

  1. 誤差関数(ガウスの誤差関数)
  2. ガンマ関数(オイラーのガンマ関数)
  3. 単位階段関数(ヘビサイドの単位階段関数)
  4. デルタ関数(ディラクの衝撃関数)

誤差関数

定義1:
以下の式で定義された関数erf(t)を誤差関数(error function)という。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle erf(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{t} {e^{-x^{2}} \, dx}}


定義2:
以下の式で定義された関数erfc(t)を相補誤差関数(complementary error function)という。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle erfc(t) = 1 - erf(t)}

図. 誤差関数のグラフ

誤差関数は、ガウスの誤差関数(Gauss errorfunction)とも呼ばれる。
ガウスの誤差関数 : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle erf \left( \frac{a}{\sigma \sqrt{2}} \right)}

誤差関数には、以下のような特徴がある。

• 誤差関数は奇関数である。
• 測定値が正規分布になっていて、標準偏差が 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sigma} 、平均が 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0} の場合、1つの測定値の誤差が 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -a} と 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a} の間になる確率は以下で与えられる。

ガンマ関数

定義:
以下の無限積分で定義された関数 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(p)}
 をガンマ関数(gamma function)という。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(p) = \int_{0}^{+ \infty} {x^{p - 1} \, e^{-x} \, dx} \qquad (p > 0)}


構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(p)}
 を 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle p}
 の初等関数で表すことはできない。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle p}
 が正の整数の時や、分母が2である分数の時は簡単に値を求めることができる。

図. ガンマ関数のグラフ

ガンマ関数は、階乗の概念を一般化した特殊関数である。
互いに同値ないくつかの定義が存在する。

1729年、オイラーにより階乗の概念の複素数への一般化として、最初に導入された。

自然数 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n} に対して、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(n + 1) = n!} が成立する。
階乗(factorial) : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle n! = n(n -1)(n - 2) \, ... \, 3 \cdot 2 \cdot 1 \qquad ( n : \mbox{ 正 の 整 数 } )}

• ガンマ関数の性質
  
  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(p + 1) = p \Gamma(p) \qquad (p > 0)}

    構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle p = n - 1} とおけば、以下が成立する。

    構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(n) = (n - 1) \Gamma(n - 1)}

  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(1) = 1}
  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(n) = (n - 1)! \qquad (n = 2, 3, 4, \cdots)}
  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}}
  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma \left( \frac{n}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2^{m}} \right) \, (2m - 1) \,(2m - 3) \, \cdots 3 \cdot 1 \qquad (m, n : \mbox{ 正 整 数 }, \, n = 2m + 1 : \mbox{ 奇 数 } )}

式 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(p + 1) = p \Gamma(p)} を使用すると、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle p < 0} の時でも 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(p)} を求めることができる。

図. 定義域を拡張したガンマ関数のグラフ

例題:
以下のガンマ関数の値を求めよ。
(1) 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(3)}

(2) 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma \left( \frac{3}{2} \right)}


解答:
(1) 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Gamma(3) = (3 - 1)! = 2}


(2) 
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align}\Gamma \left( \frac{3}{2} \right) &= \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \, \Gamma \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \\ &= \frac{1}{2} \, \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align}}

単位階段関数

定義:
以下で定義された関数U(t)を単位階段関数(unit step function)という。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   U(t) =   \begin{cases}   0 & \qquad (t < 0) \\  1 & \qquad (t \ge 0)  \end{cases}  }

単位階段関数は、ヘビサイドの階段関数(Heaviside step function)とも呼ばれる。
ただし、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = 0} の場合の扱いが異なるもの(例えば、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = 0} の値を未定義とする)をそう呼ぶ場合もある。

図. 単位階段関数のグラフ

単位階段関数 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U(t)} は、時刻 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t} の関数として用いられることが多い。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = 0} においてグラフを(別の)グラフ 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)} に変えたい時、積 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U(t)f(t)} を作れば、その関数を表現することができる。

さらに、時刻 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = a} において突然変化するような現象を表したいときは、 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U(t)f(t)} をt軸へa方向だけ移動して 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U(t - a)f(t - a)} とすればよい。

図. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U(t)f(t)}  : 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = 0} から別のグラフ 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)} のグラフになる関数

例題:
以下の関数のグラフを書け。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = U(t) \, \sin{t}}

解答:
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = U(t) \, \sin{t}} のグラフは以下のようになる。
ある関数に単位階段関数 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle U(t)} を乗算する 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t < 0} の時、値が 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 0} になる。

図. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y = U(t) \, \sin{t}} のグラフ

デルタ関数

定義:
以下の式で表される関数δ(t)を、デルタ関数(delta function)という。
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle   \delta (t) =   \begin{cases}   0 & \quad (t \ne 0) \\  + \infty &  \quad (t = 0)  \end{cases}  }


構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} {\delta (t) \, dt} = 1}

図. デルタ関数のグラフ

デルタ関数は、ディラクのデルタ関数(Dirac deltafunction)、あるいは、単位衝撃関数(unit impulsefunction)とも呼ばれる。

デルタ関数は、1930年頃ディラク(P. Dirac)によって最初に導入され、(離散的な)クロネッカーデルタ(Kronecker delta)の連続版として導入された。

デルタ関数はt = 0において、瞬間的に衝撃(インパルス)が加わった現象を記述することができる。
例えば、t = a, 2a, 3a, ... (a≧0)において衝撃が加わっている現象は、次式と下図のように表すことができる。
$\sum _{n=0}^{\infty }{\delta (t-na)}\qquad (n:{\mbox{ 自 然 数 }})$

図. 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle t = a, \, 2a, \, 3a, \, ... \quad (a \ge 0)} において衝撃が加わっている現象

• デルタ関数の性質
  以下において、aは定数とする。
  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \delta (x - a) = \frac{d}{dx} \, U(x - a)}
  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} {f(x) \, \delta (x - a)} = f(a)}
  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x \, \delta (x - a) = a \, \delta (x - a)}
  • 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x) \, \delta (x - a) = f(a) \, \delta (x - a)}