📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
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* 誤差関数は奇関数である。 | * 誤差関数は奇関数である。 | ||
* 測定値が正規分布になっていて、標準偏差が <math>\sigma</math> 、平均が <math>0</math> の場合、1つの測定値の誤差が <math>-a</math> と <math>a</math> の間になる確率は以下で与えられる。 | * 測定値が正規分布になっていて、標準偏差が <math>\sigma</math> 、平均が <math>0</math> の場合、1つの測定値の誤差が <math>-a</math> と <math>a</math> の間になる確率は以下で与えられる。 | ||
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== ガンマ関数 == | |||
定義: | |||
以下の無限積分で定義された関数 <math>\Gamma(p)</math> をガンマ関数(gamma function)という。 | |||
<math>\Gamma(p) = \int_{0}^{+ \infty} {x^{p - 1} \, e^{-x} \, dx} \qquad (p > 0)</math> | |||
<math>\Gamma(p)</math> を <math>p</math> の初等関数で表すことはできない。 | |||
<math>p</math> が正の整数の時や、分母が2である分数の時は簡単に値を求めることができる。 | |||
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[[ファイル:Special Function 2.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図. ガンマ関数のグラフ</center><br> | |||
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ガンマ関数は、階乗の概念を一般化した特殊関数である。<br> | |||
互いに同値ないくつかの定義が存在する。<br> | |||
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1729年、オイラーにより階乗の概念の複素数への一般化として、最初に導入された。<br> | |||
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自然数 <math>n</math> に対して、 <math>\Gamma(n + 1) = n!</math> が成立する。<br> | |||
階乗(factorial) : <math>n! = n(n -1)(n - 2) \, ... \, 3 \cdot 2 \cdot 1 \qquad ( n : \mbox{ 正 の 整 数 } )</math><br> | |||
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* ガンマ関数の性質<br> | |||
** <math>\Gamma(p + 1) = p \Gamma(p) \qquad (p > 0)</math> | |||
**: <math>p = n - 1</math> とおけば、以下が成立する。 | |||
**: <math>\Gamma(n) = (n - 1) \Gamma(n - 1)</math> | |||
** <math>\Gamma(1) = 1</math> | |||
** <math>\Gamma(n) = (n - 1)! \qquad (n = 2, 3, 4, \cdots)</math> | |||
** <math>\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}</math> | |||
** <math>\Gamma \left( \frac{n}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2^{m}} \right) \, (2m - 1) \,(2m - 3) \, \cdots 3 \cdot 1 \qquad (m, n : \mbox{ 正 整 数 }, \, n = 2m + 1 : \mbox{ 奇 数 } )</math> | |||
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<center>式 <math>\Gamma(p + 1) = p \Gamma(p)</math> を使用すると、 <math>p < 0</math>の時でも <math>\Gamma(p)</math> を求めることができる。</center><br> | |||
[[ファイル:Special Function 3.png|フレームなし|中央]] | |||
<center>図. 定義域を拡張したガンマ関数のグラフ</center><br> | |||
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例題: | |||
以下のガンマ関数の値を求めよ。 | |||
(1) <math>\Gamma(3)</math> | |||
(2) <math>\Gamma \left( \frac{3}{2} \right)</math> | |||
解答: | |||
(1) <math>\Gamma(3) = (3 - 1)! = 2</math> | |||
(2) | |||
<math>\begin{align}\Gamma \left( \frac{3}{2} \right) &= \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \, \Gamma \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \\ &= \frac{1}{2} \, \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align}</math> | |||
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== 単位階段関数 == | |||
定義: | |||
以下で定義された関数U(t)を単位階段関数(unit step function)という。 | |||
<math> | |||
U(t) = | |||
\begin{cases} | |||
0 & \qquad (t < 0) \\ | |||
1 & \qquad (t \ge 0) | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
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単位階段関数は、ヘビサイドの階段関数(Heaviside step function)とも呼ばれる。<br> | |||
ただし、 <math>t = 0</math> の場合の扱いが異なるもの(例えば、 <math>t = 0</math> の値を未定義とする)をそう呼ぶ場合もある。<br> | |||
<center>図. 単位階段関数のグラフ</center><br> | |||
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単位階段関数 <math>U(t)</math> は、時刻 <math>t</math> の関数として用いられることが多い。<br> | |||
<math>t = 0</math> においてグラフを(別の)グラフ <math>f(t)</math> に変えたい時、積 <math>U(t)f(t)</math> を作れば、その関数を表現することができる。<br> | |||
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さらに、時刻 <math>t = a</math> において突然変化するような現象を表したいときは、 <math>U(t)f(t)</math> をt軸へa方向だけ移動して <math>U(t - a)f(t - a)</math> とすればよい。<br> | |||
<center>図. <math>U(t)f(t)</math> : <math>t = 0</math> から別のグラフ <math>f(t)</math> のグラフになる関数</center><br> | |||
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例題:<br> | |||
以下の関数のグラフを書け。<br> | |||
<math>y = U(t) \, \sin{t}</math><br> | |||
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解答:<br> | |||
<math>y = U(t) \, \sin{t}</math> のグラフは以下のようになる。<br> | |||
ある関数に単位階段関数 <math>U(t)</math> を乗算する <math>t < 0</math> の時、値が <math>0</math> になる。<br> | |||
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