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== 未定係数法 == | == 未定係数法 == | ||
==== 未定係数法とは ==== | |||
定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> において、<br> | 定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> において、<br> | ||
g(x)が特定の形（例えば、xの多項式やe<sup>ax</sup>の形）の場合、特殊解v(x)の形を推定できる場合がある。<br> | g(x)が特定の形（例えば、xの多項式やe<sup>ax</sup>の形）の場合、特殊解v(x)の形を推定できる場合がある。<br> | ||
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** <math>\lambda = \alpha \pm i \beta</math> の時 | ** <math>\lambda = \alpha \pm i \beta</math> の時 | ||
**: <math>v(x) = x e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math> | **: <math>v(x) = x e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math> | ||
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==== 未定係数法の例題 ==== | |||
例題1 : | |||
以下の微分方程式の特殊解v(x)を未定係数法で求め、一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> | |||
※ <math>g(x) = p_n(x) = k_1 x + k_0 = x</math> の形なので、<math>v(x) = P_n(x) = A_1 x + A0</math> の形になる。 | |||
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上式の特性方程式は、<math>\lambda^2 + 3 \lambda + 2 = 0</math> より、<math>\lambda = -2, \, -1</math><br> | |||
したがって、上式の基本解は <math>( e^{-2x}, \, e^{-x} )</math> となり、一般解は <math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math><br> | |||
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次に、非同次方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> の特殊解v(x)を求める。<br> | |||
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v(x)の形は、<u>g(x)がp<sub>n</sub>(x)の場合の特殊解v(x)はP<sub>n</sub>(x)になる</u>ことを考慮すると、<br> | |||
<math>v(x) = A_1 x + A_0 \quad (n = 1 \mbox{ の ケ ー ス } )</math> の形になることがわかる。<br> | |||
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以下、このA<sub>1</sub>、および、A<sub>0</sub>を求める。<br> | |||
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<math>v(x) = A_1 x + A_0, \quad \frac{dv(x)}{dx} = A_1, \quad \frac{d^2 v(x)}{dx} = 0</math><br> | |||
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これらを与式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> の左辺へ代入すると、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\frac{d^2 v(x)}{dx^2} + 3 \frac{d v(x)}{dx} + 2v(x) &= 0 + 3 A_1 + 2(A_1 x + A_0) \\ | |||
&= (2 A_1)x + (3 A_1 + 2 A_0) \\ | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
これが右辺の多項式xに等しくなるためには、<math>2 A_1 = 1, \quad 3 A_1 + 2 A_0 = 0</math> となる必要がある。<br> | |||
よって、<math>A_0 = - \frac{3}{4}, \quad A_1 = \frac{1}{2}</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、特殊解は以下になる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
v(x) &= \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} \\ | |||
&= \frac{2x - 3}{4} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
以上より、与式の一般解は以下になる。<br> | |||
<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||
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