応用数学 - 定数係数2階線形常微分方程式

概要

線形微分方程式とは、$f_{1}(x),\ f_{2}(x),\ \cdots ,\ f_{n}(x),\ g(x)$ をxのみの関数とする。
この時、以下の形の微分方程式をN階線形常微分方程式という。

${\frac {dy^{(n)}}{dx}}+f_{1}(x){\frac {dy^{(n-1)}}{dx}}+\cdots +f_{(n-1)}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{n}(x)y=g(x)\quad \cdots \quad (1)$

上式において、$g(x)=0$ の時を同次方程式、$g(x)\neq 0$ の時を非同次方程式と呼ぶ。

線形常微分方程式には、連立1次方程式の解の構造との類似性があり、線形代数とのアナロジーがある。
定数係数2階線形常微分方程式は、電磁気学、動力学、量子力学、振動現象等の記述に現れる。

解の存在と一意性

定理（存在定理） :
xのみの関数 $f_{1}(x),\ f_{2}(x),\ \cdots \ f_{n}(x),\ g(x)$ が、区間Iで連続とする。
この時、I内の点 $x=a$ における以下の初期条件のもとで、以下のN階線形常微分方程式の解は区間Iでただ1つ存在する。

初期条件 ：
$y(a)=b_{0},\quad {\frac {dy(a)}{dx}}=b_{1},\quad \cdots ,\quad {\frac {d^{(n-1)}y(a)}{dx^{(n-1)}}}=b_{(n-1)}$

N階線形常微分方程式 ：
${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+f_{1}(x){\frac {d^{(n-1)}y}{dx^{(n-1)}}}+\cdots +f_{(n-1)}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{n}(x)y=g(x)\quad \cdots \quad (1)$

存在定理により、N階線形常微分方程式の解の存在が保障され、当該初期条件を満たすものがただ1つに決まる。
1階常微分方程式の初期条件は1つであり、N階常微分方程式では、N個の初期条件がないと解は一意に定まらない。

存在定理により、当該問題を解くための数値解析プログラムを作成することに対する正当性が保障される。

定数係数2階線形常微分方程式(同次方程式)の解全体の集合

以下の定数係数2階線形常微分方程式(同次方程式)について考える。
${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{2}(x)y=0\quad \cdots \quad (*)$

上式の解関数全体の集合をVとする。
$V=\left\{y\quad {\Big \vert }\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{2}(x)y=0\right\}$

次に、集合Vは、実数上のベクトル空間（2次元線形空間）となること（すなわち、Vは平面ベクトル全体と同じ構造を持つこと）を記述する。

定理1 ：
解関数 $y1,\,y2\,\in V$ を考える。
この時、次の関数u, vも集合Vの要素である。
$(1)\ u=y_{1}+y_{2}$
$(2)\ v=ky_{1}\quad (k:{\mbox{ 実 数 }})$

定理2 （重ねあわせの原理） :
同次方程式 : ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{2}(x)y=0$ の解である2つの関数y1, y2を考える。
この時、次の形も同次方程式の解である。
$y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}\qquad (C1,\ C2:{\mbox{ 実 数 }})$