応用数学 - 高階線形常微分方程式

概要

3階以上の常微分方程式は、基本的には2階常微分方程式と変わらない。

より高階の微分方程式 ${\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}f(x)}{dx^{n-1}}}+a_{n-2}{\frac {d^{n-2}f(x)}{dx^{n-2}}}+\cdots +a_{1}{\frac {df(x)}{dx}}+a_{0}x=b(x)$ の形の常微分方程式を考える。

このように、最高階の常微分方程式について解かれているものを正規形と呼ぶ。
$b(x)=0$ の時、同次方程式であるという。

2階線形常微分方程式ならば、 ${\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}+a_{1}{\frac {df(x)}{dx}}+a_{0}x=b(x)$ である。

高階定数係数線形同次常微分方程式

n階定係数線形同次微分方程式 ${\frac {d^{n}f(x)}{dx}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}f(x)}{dx}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {df(x)}{dx}}+a_{n}f(x)=0$ の一般解は、
基本解(n個の線形独立な解の組) $(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})$ を用いて、次式のように表現することができる。

$y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+\cdots +C_{n}y_{n}\qquad (C_{i}:{\mbox{ 任 意 定 数 }})$

n階定係数線形同次微分方程式の解全体は、n次元線形空間をつくる。

この方程式の基本解(n個の線形独立な解の組) $(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})$ は、
この方程式の特性方程式 $\lambda _{n}+a_{1}\lambda _{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}=0$ を解くことによって求めることができる。

高階定数係数線形同次常微分方程式の例題

例題 1

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-3{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}=0$

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
$\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+2\lambda =0$

これを解くと、 $\lambda (\lambda ^{2}-3\lambda +2)=0$ より、 $\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)=0$ より、 $\lambda =0,1,2$ となる。

これより、基本解は $(1,\,e^{x},\,e^{2x})$ となる。
したがって、一般解は次のようになる。

$y=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{2x}\qquad (C_{i}:{\mbox{ 任 意 定 数 }})$

例題 2

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-2{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}+2y=0$

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
$\lambda ^{3}-2\lambda ^{2}-\lambda +2=0$

これを解くと、 $\lambda ^{2}(\lambda -2)-(\lambda -2)=0$ より、
${\begin{array}{lcl}(\lambda ^{2}-1)(\lambda -2)&=0\\(\lambda +1)(\lambda -1)(\lambda -2)=0\end{array}}$
より、 $\lambda =-1,\,1,\,2$ となる。

これより、基本解は $(e^{-x},\,e^{x},\,e^{2x})$ となる。
したがって、一般解は次のようになる。

$y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{2x}\qquad (C_{i}:{\mbox{ 任 意 定 数 }})$

例題 3

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+2{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {dy}{dx}}=0$

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
$\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+\lambda =0$

これを解くと、 $\lambda (\lambda +1)^{2}=0$ より、
$\lambda =0,\,\lambda =-1\quad ({\mbox{ 重 解 }})$
となる。

これより、基本解は $(1,\,e^{-x},\,xe^{-x})$ となる。
したがって、一般解は次のようになる。

$y=C_{1}+C_{2}e^{-x}+C_{3}xe^{-x}\qquad (C_{i}:{\mbox{ 任 意 定 数 }})$

例題 4

以下の微分方程式の一般解を求めよ。
${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+3{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3{\frac {dy}{dx}}+y=0$

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
$\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+3\lambda +1=0$

これを解くと、 $(\lambda +1)^{3}=0$ より、
$\lambda =-1\quad ({\mbox{ 3 重 解 }})$ となる。

これより、基本解は $(e^{-x},\,xe^{-x},\,x^{2}e^{-x})$ となる。
したがって、一般解は次のようになる。
$y=C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}+C_{3}x^{2}e^{-x}\qquad (C_{i}:{\mbox{ 任 意 定 数 }})$