📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
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&= 2 \pi a \left [ - \frac{1}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{1}{2}}} \right ]_{R_{1}}^{R_{2}} \\ | &= 2 \pi a \left [ - \frac{1}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{1}{2}}} \right ]_{R_{1}}^{R_{2}} \\ | ||
&= 2 \pi a \left ( \frac{1}{\sqrt{R_{1}^{2} - a^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{R_{2}^{2} - a^{2}}} \right ) | &= 2 \pi a \left ( \frac{1}{\sqrt{R_{1}^{2} - a^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{R_{2}^{2} - a^{2}}} \right ) | ||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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(2)<br> | |||
与えられた座標系では、積分領域Dは下図のように半球型になる。<br> | |||
そのため、極座標系<math>(r, \theta, \phi)</math> に座標変換する。<br> | |||
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\begin{align} | |||
\begin{cases} | |||
x = r \sin \theta \cos \phi \\ | |||
y = r \sin \theta \sin \phi \\ | |||
z = r \cos \theta | |||
\end{cases} \qquad \left ( 0 \leq r \leq a, \, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \, 0 \leq \phi \leq 2 \pi \right ) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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また、ヤコビアンは、<math>\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \phi)} = r^{2} \sin \theta</math> となる。<br> | |||
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したがって、求める多重積分は次式となる。<br> | |||
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\begin{align} | |||
& \iint_{D} 2z^{3} (2x^{2} - y^{2}) \, dxdydz \\ | |||
&= \iint_{D'} 2r^{3} \cos^{3} \theta (2r^{2} \sin^{2} \theta \cos^{2} \phi - r^{2} \sin^{2} \theta \sin^{2} \phi) \, \left | \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \phi)} \right | dr d \theta d \phi \\ | |||
&= 2 \int_{0}^{a} dr \int_{0}^{\pi / 2} d \theta \int_{0}^{2 \pi} r^{7} \sin^{3} \theta \cos^{3} \theta (2 \cos^{2} \phi - \sin^{2} \phi) \, d \phi \\ | |||
&= 2 \left ( \int_{0}^{a} r^7 dr \, \right ) \left ( \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} \theta \cos^{3} \theta \, d \theta \right ) \left \{ \int_{0}^{2\pi} (2 \cos^{2} \phi - \sin^{2} \phi) \, d \phi \right \} \\ | |||
&= \left ( \int_{0}^{a} r^{7} \, dr \right ) \left \{ \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} \theta (1 - \sin^{2} \theta) \cos \theta \, d \theta \right \} \left \{ \int_{0}^{2 \pi} (3 \cos^{2} \phi - 1) \, d \phi \right \} \\ | |||
&= \left ( \int_{0}^{a} r^{7} \, dr \right ) \left \{ \int_{0}^{\pi/2} \cos \theta (\sin^{3} \theta - \sin^{5} \theta) \, d \theta \right \} \left \{ \int_{0}^{2\pi} \left ( \frac{3}{2} \cos 2 \phi + \frac{1}{2} \right ) \, d \phi \right \} \\ | |||
&= 2 \left [ \frac{r^{8}}{8} \right ]_{0}^{a} \left [ \frac{\sin^{4} \theta}{4} - \frac{\sin^{6} \theta}{6} \right ]_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} \left [ \frac{3 \sin 2 \phi}{2} + \phi \right ]_{0}^{2\pi} \\ | |||
&= \frac{a^{8}}{8} \left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right ) 2 \pi \\ | |||
&= \frac{\pi a^{8}}{48} | |||
\end{align} | \end{align} | ||
</math><br> | </math><br> | ||