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ここで、<math>\left | \frac{\partial (x_{1}, \cdots, x_{n})}{\partial (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})} \right |</math> は、ヤコビアンの絶対値である。<br> | ここで、<math>\left | \frac{\partial (x_{1}, \cdots, x_{n})}{\partial (\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})} \right |</math> は、ヤコビアンの絶対値である。<br> | ||
すなわち、積分変数を変換したのち、被積分関数にヤコビアンの絶対値を乗算すればよい。<br> | すなわち、積分変数を変換したのち、被積分関数にヤコビアンの絶対値を乗算すればよい。<br> | ||
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例題. 次の重積分を求めよ。 | |||
(1) <math>f(x, y) = \frac{a}{(x^{2} + y^{2} + a^{2})^{\frac{3}{2}}}, \qquad D:R_{1}^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq R_{2}^{2}</math> | |||
(2) <math>f(x, y, z) = 2z^{3} (2x^{2} - y^{2}), \qquad D:x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, \, z \geq 0</math> | |||
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(1)<br> | |||
与えられた座標系では、積分領域Dは下図左のようにドーナツ型になる。<br> | |||
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まず、極座標系(r, θ)に座標変換する。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\begin{cases} | |||
x = r \cos \theta \\ | |||
y = r \sin \theta | |||
\end{cases} | |||
\qquad (R_{1} \leq r \leq R_{2}, \, 0 \leq \theta \leq 2 \pi) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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この時、新たな積分領域D'は下図右のようになる。<br> | |||
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また、ヤコビアンは、<math>\frac{\partial (x,y)}{\partial (r, \theta)} = r</math> となるため、求める多重積分は次式となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
& \iint_{D} \frac{a}{(x^{2} + y^{2} + a^{2})^{\frac{3}{2}}} \, dxdy \\ | |||
&= \iint_{D'} \frac{a}{(r^{2} \cos^{2} \theta + r^{2} \sin^{2} \theta + a^{2})^{\frac{3}{2}}} \left | \frac{\partial (x, y)}{\partial (r, \theta)} \right | \, dr d \theta \\ | |||
&= \int_{0}^{2 \pi} \, d \theta \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{ar}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}} \, dr \\ | |||
&= 2 \pi a \left [ - \frac{1}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{1}{2}}} \right ]_{R_{1}}^{R_{2}} \\ | |||
&= 2 \pi a \left ( \frac{1}{\sqrt{R_{1}^{2} - a^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{R_{2}^{2} - a^{2}}} \right ) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||