📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
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編集の要約なし |
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Δ12からΔ33の6個も同様に計算できる。<br> | Δ12からΔ33の6個も同様に計算できる。<br> | ||
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したがって、逆行列A<sup>-1</sup>は次のようになる。<br> | |||
<math>A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}</math><br> | <math>A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br> | ||
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== 逆行列の求め方 2：掃き出し法 == | |||
単位行列をEとする。<br> | |||
横長の行列AEに、行基本変形を繰り返して行列EBになるとき、BはAの逆行列である。<br> | |||
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行基本変形とは、以下の3つの操作である。<br> | |||
* 操作1 : 任意の行を定数倍する。 | |||
* 操作2 : 2つの行を交換する。 | |||
* 操作3 : 任意の行の定数倍を別の行に加える。 | |||
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'''例題''' | |||
<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}</math>の逆行列を求めよ。 | |||
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<math>(AI) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math><br> | |||
行基本変形を適用して、行列の左半分を単位行列Eにしたとき、行列の右半分が逆行列Bである。<br> | |||
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まず、1列目を見て、1行目の2倍を2行目に加える。<br> | |||
<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math><br> | |||
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次に、2列目の第2成分以外に0を並べるように、操作3を行う。<br> | |||
<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}</math><br> | |||
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同様に，三列目（の第3成分以外）に 0 を並べるように操作3を行う：<br> | |||
<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 2 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 2 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}</math><br> | |||
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最後に、操作2を2行目と3行目に適用して、行列の左半分を単位行列にする。<br> | |||
<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br> | |||
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このとき、行列の右半分が、A<sup>−1</sup>である。<br> | |||
したがって、<math>A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>となる。<br> | |||
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