線形代数の基礎 - 固有値 固有ベクトル

固有値 / 固有ベクトルの定義

固有値・固有ベクトルの定義

$A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}$
が成立する時、${\vec {x}}$ を行列Aの固有ベクトル、$\lambda$ を行列Aの固有値という。

ただし、Aは正方行列、${\vec {x}}$ は ${\vec {0}}$ でないベクトル、$\lambda$ はスカラーである。

固有空間の定義

固有値および固有ベクトルに関連する概念として、固有空間がある。

固有空間の定義

正方行列Aの固有値 $\lambda$ に対して、
$W_{\lambda }=\{\,{\vec {x}}\,|\,A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}\,\}$
で定まる線型空間 $W_{\lambda }$​ のことを、Aの固有値λの固有空間という。

つまり、固有空間とは同じ固有値λに対応する固有ベクトルを集めた集合である。
ただし、ゼロベクトルも固有空間の元である。

特性方程式

• 固有値を求めるために必要な定理

$\lambda$ が 行列Aの固有値 $\iff {\mbox{det}}(A-\lambda I)=0$
この ${\mbox{det}}(A-\lambda I)=0$ を行列Aの特性方程式 (固有方程式) という。

固有値の求め方

例題.

$A={\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}}$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答.

$A-\lambda I={\begin{pmatrix}3-\lambda &1\\2&2-\lambda \end{pmatrix}}$

したがって、特性方程式は
${\begin{aligned}(3-\lambda )(2-\lambda )-2&=0\\\lambda ^{2}-5\lambda +4&=0\\(\lambda -1)(\lambda -4)&=0\end{aligned}}$

$\therefore \lambda =1,4$

したがって、固有値は $\lambda =1,\,4$ となる。

固有ベクトルの求め方

例題. $A={\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}}$ において $\lambda =1$ に対応する固有ベクトル

$(A-I){\vec {x}}={\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}=0$
の解が固有ベクトルである。

${\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=0$

${\begin{cases}2x+y&=0\\2x+y&=0\\\end{cases}}$

より、$x=1,\,y=-2$

固有ベクトルは ${\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}$ の定数倍

例題. $\lambda =4$ に対応する固有ベクトル
$(A-4I){\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}}{\vec {x}}=0$
の解が固有ベクトルである。

${\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=0$

${\begin{cases}-x+y&=0\\2x-2y&=0\\\end{cases}}$

より、$x=1,\,y=1$

固有ベクトルは ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ の定数倍

※注意
3次の正方行列の場合、特性方程式が3次方程式になり、固有ベクトルを3本求める必要がある。