線形代数の基礎 - 固有値 固有ベクトル

固有値 / 固有ベクトルの定義

固有値・固有ベクトルの定義

$A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}$
が成立する時、${\vec {x}}$ を行列Aの固有ベクトル、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda}
 を行列Aの固有値という。

ただし、Aは正方行列、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{x}}
 は 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \vec{0}}
 でないベクトル、構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda}
 はスカラーである。

固有空間の定義

固有値および固有ベクトルに関連する概念として、固有空間がある。

固有空間の定義

正方行列Aの固有値 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda}
 に対して、
構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W_{\lambda} = \{ \, \vec{x} \, | \, A \vec{x} = \lambda \vec{x} \, \}}

で定まる線型空間 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle W_{\lambda}}
​ のことを、Aの固有値λの固有空間という。

つまり、固有空間とは同じ固有値λに対応する固有ベクトルを集めた集合である。
ただし、ゼロベクトルも固有空間の元である。

特性方程式

• 固有値を求めるために必要な定理

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lambda} が 行列Aの固有値 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \iff \mbox{det} (A - \lambda I) = 0}
この 構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mbox{det} (A - \lambda I) = 0} を行列Aの特性方程式 (固有方程式) という。

固有値の求め方

例題.

構文解析に失敗 (SVG (ブラウザーのプラグインで MathML を有効にできます): サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}}
 の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答.

$A-\lambda I={\begin{pmatrix}3-\lambda &1\\2&2-\lambda \end{pmatrix}}$

したがって、特性方程式は
${\begin{aligned}(3-\lambda )(2-\lambda )-2&=0\\\lambda ^{2}-5\lambda +4&=0\\(\lambda -1)(\lambda -4)&=0\end{aligned}}$

$\therefore \lambda =1,4$

したがって、固有値は $\lambda =1,\,4$ となる。

固有ベクトルの求め方

例題. $\lambda =1$ に対応する固有ベクトル

$(A-I){\vec {x}}={\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}=0$
の解なので固有ベクトルは ${\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}$ の定数倍

例題. $\lambda =4$ に対応する固有ベクトル
$(A-4I){\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}}{\vec {x}}=0$
の解なので固有ベクトルは ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ の定数倍

※注意
3次の正方行列の場合、特性方程式が3次方程式になり、固有ベクトルを3本求める必要がある。