📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
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階差数列の考え方を用いれば、複雑に見える数列でもその規則性を見つけやすくなる。<br> | 階差数列の考え方を用いれば、複雑に見える数列でもその規則性を見つけやすくなる。<br> | ||
特に、多項式で表される数列の分析に効果的である。<br> | 特に、多項式で表される数列の分析に効果的である。<br> | ||
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例題: | |||
数列a<sub>n</sub>が、5，11，21，35，53，... の時 | |||
(1) 一般項a<sub>n</sub>を求めよ。 | |||
(2) 初項から第n項までの和を求めよ。 | |||
(1)の解答: | |||
数列a<sub>n</sub>の階差数列をb<sub>n</sub>とする時 | |||
<math>a_n : 5, 11, 21, 35, 53, \cdots</math> | |||
<math>b_n : 6, 10, 14, 18, \cdots</math> | |||
数列b<sub>n</sub>は、初項6、公差4の等差数列であるから、<math>b_n = 6 + 4(n - 1) = 4n + 2</math> | |||
<math>n \ge 2</math> の時 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\ | |||
&= 5 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k+2) \\ | |||
&= 5 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \\ | |||
&= 5 + 4 \cdot \frac{1}{2} (n - 1) n + 2 (n - 1) \\ | |||
&= 2n^2 + 3 \quad \cdots \mbox{(1)} | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<math>n = 1</math> の時 | |||
<math>2 n^2 + 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 5</math> | |||
初項は <math>a_1 = 5</math> であるから、上式(1)は <math>n = 1</math> の時も成り立つ。 | |||
したがって、<math>a_n = 2 n^2 + 3</math> となる。 | |||
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(2)の解答 | |||
求める和をS<sub>n</sub>とする時 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
S_n &= \sum_{k = 1}^{n} a_k \\ | |||
&= \sum_{k = 1}^{n} (2 k^2 + 3) \\ | |||
&= 2 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + \sum_{k = 1}^{n} 3 \\ | |||
&= 2 \cdot \frac{1}{6} n (n + 1)(2n + 1) + 3n \\ | |||
&= \frac{1}{3} n \{(n + 1)(2n + 1) + 9 \} \\ | |||
&= \frac{1}{3} n (2 n^2 + 3n + 10) | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
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