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「応用数学 - ラプラス逆変換」の版間の差分

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  <math>f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int^{p + i \infty}_{p - i \infty} {e^{st} F(s) ds}</math>
  <math>f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int^{p + i \infty}_{p - i \infty} {e^{st} F(s) ds}</math>
   
   
  ここで、<math>s = p + i \alpha \quad (p, \, \alpha : \mbox{ 実 数 }, \, \, i : \mbox{ 虚 数 単 位 })</math> とする。
  ここで、<math>s = p + i \alpha \quad (p, \, \alpha : \mbox{ 実 数 } \, , \, \, i : \mbox{ 虚 数 単 位 } \, )</math> とする。
   
   
  説明:
  説明:
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  <math>f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int^{p + i \infty}_{p - i \infty} {e^{st} F(s) \, ds}</math>
  <math>f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int^{p + i \infty}_{p - i \infty} {e^{st} F(s) \, ds}</math>
   
   
  <math> \qquad s = p + i \alpha \quad (p, \, \alpha : \mbox{ 実 数 }, \, \, i : \mbox{ 虚 数 単 位 })</math><br>
  <math> \qquad s = p + i \alpha \quad (p, \, \alpha : \mbox{ 実 数 } \, , \, \, i : \mbox{ 虚 数 単 位 } \,)</math><br>
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<br>
下図に、ブロムウィチ積分の積分経路を示す。<br>
下図に、ブロムウィチ積分の積分経路を示す。<br>
98行目: 98行目:
{| class="wikitable" | style="background-color:#fefefe;text-align: center;"
{| class="wikitable" | style="background-color:#fefefe;text-align: center;"
|-
|-
! style="background-color:#66CCFF;width:30%" | <math>\definecolor{orgblack}{RGB}{20,20,20}\color{orgblack}  f(t)</math>
! style="background-color:#66CCFF;width:30%" | <math>f(t)</math>
! style="background-color:#66CCFF;width:30%" | <math>\definecolor{orgblack}{RGB}{20,20,20}\color{orgblack}  F(s)</math>
! style="background-color:#66CCFF;width:30%" | <math>F(s)</math>
! style="background-color:#66CCFF;width:40%" | 条件
! style="background-color:#66CCFF;width:40%" | 条件
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| <math>\color{Black} 1</math> || <math>\color{Black} \frac{1}{s}</math> || <math>\color{Black} s > 0</math>
| <math>1</math> || <math>\frac{1}{s}</math> || <math>s > 0</math>
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| <math>\color{Black} t</math> || <math>\color{Black} \frac{1}{s^2}</math> || <math>\color{Black} s > 0</math>
| <math>t</math> || <math>\frac{1}{s^2}</math> || <math>s > 0</math>
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| <math>\color{Black} \frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!}</math> || <math>\color{Black} \frac{1}{s^{n}}</math> || <math>\color{Black} n</math> は正整数
| <math>\frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!}</math> || <math>\frac{1}{s^{n}}</math> || <math>n</math> は正整数
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| <math>\color{Black} \frac{t^{p - 1}}{\Gamma(p)}</math> || <math>\color{Black} \frac{1}{s^{p}}</math> || <math>\color{Black} p > 0</math>
| <math>\frac{t^{p - 1}}{\Gamma(p)}</math> || <math>\frac{1}{s^{p}}</math> || <math>p > 0</math>
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| <math>\color{Black} e^{at}</math> || <math>\color{Black} \frac{1}{s - a}</math> || <math>\color{Black} s > \alpha</math>
| <math>e^{at}</math> || <math>\frac{1}{s - a}</math> || <math>s > \alpha</math>
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| <math>\color{Black} \sin{at}</math> || <math>\color{Black} \frac{a}{s^2 + a^2}</math> || <math>\color{Black} s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数　}</math>
| <math>\sin{at}</math> || <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数  } \, \,</math>
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| <math>\cos{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 + a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数　}</math>
| <math>\cos{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 + a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数  } \, \,</math>
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| <math>\sinh{at}</math> || <math>\frac{a}{s^2 - a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数　}</math>
| <math>\sinh{at}</math> || <math>\frac{a}{s^2 - a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数 } \, \,</math>
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| <math>\cosh{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数　}</math>
| <math>\cosh{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数 } \, \,</math>
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| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> || <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> || <math>s > 0, \quad  a > 0</math>
| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> || <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> || <math>s > 0, \quad  a > 0</math>
146行目: 146行目:
| 積分法則<br><math>\int^{t}_{0} {f(u) \, du}</math> || <math>\frac{F(s)}{s}</math> ||  
| 積分法則<br><math>\int^{t}_{0} {f(u) \, du}</math> || <math>\frac{F(s)}{s}</math> ||  
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| <math>t^{n}</math> 積法則<br><math>t^{n} f(t)</math> || <math>(-1)^{n} \, \frac{dF^{n} (s)}{ds}</math> || <math>n : \mbox{ 正 整 数 }</math>
| <math>t^{n}</math> 積法則<br><math>t^{n} f(t)</math> || <math>(-1)^{n} \, \frac{dF^{n} (s)}{ds^{n}}</math> || <math>n : \mbox{ 正 整 数 } \, \,</math>
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| 合成積<br><math>(f * g)(t)</math> || <math>F(s) \, G(s)</math> ||
| 合成積<br><math>(f * g)(t)</math> || <math>F(s) \, G(s)</math> ||
189行目: 189行目:
*: <math>\frac{P(s)}{(s - a)^{3} (s^{2} + bs + c)} = \frac{A}{s - a} + \frac{B}{(s - a)^{2}} + \frac{C}{(s - a)^{3}} + \frac{Ds + E}{s^{2} + bs + c}</math>
*: <math>\frac{P(s)}{(s - a)^{3} (s^{2} + bs + c)} = \frac{A}{s - a} + \frac{B}{(s - a)^{2}} + \frac{C}{(s - a)^{3}} + \frac{Ds + E}{s^{2} + bs + c}</math>
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  例題:
  例題 1:
  部分分数展開とラプラス逆変換公式を使用することにより、以下のラプラス逆変換の値を求めよ。
  部分分数展開とラプラス逆変換公式を使用することにより、以下のラプラス逆変換の値を求めよ。
  <math>\mathcal{L}^{-1} \bigg[ \frac{s}{s^{2} - 4s + 3} \bigg]</math>
  <math>\mathcal{L}^{-1} \bigg[ \frac{s}{s^{2} - 4s + 3} \bigg]</math>
212行目: 212行目:
  <math>
  <math>
  \begin{align}
  \begin{align}
  \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s}{s^{2} - 4s + 3} \right] &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3}{2} \frac{1}{s - 3} - \frac{1}{2} \frac{1}{s - 1} \right] \qquad \mbox{ 上 式 (2) }\\
  \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s}{s^{2} - 4s + 3} \right] &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3}{2} \frac{1}{s - 3} - \frac{1}{2} \frac{1}{s - 1} \right] \qquad \mbox{ 上 式 (2) }\\
  &= \frac{3}{2} \, \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s - 3} \right] - \frac{1}{2} \, \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s - 1} \right] \qquad \because \mbox{ 線 形 法 則 } \\
  &= \frac{3}{2} \, \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s - 3} \right] - \frac{1}{2} \, \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s - 1} \right] \qquad \because \mbox{ 線 形 法 則 } \\
  &= \frac{3}{2} e^{3t} - \frac{1}{2} e^{t} \qquad \because \mbox{ 変 換 公 式 } \\
  &= \frac{3}{2} e^{3t} - \frac{1}{2} e^{t} \qquad \because \mbox{ 変 換 公 式 } \\
  &= \frac{3 e^{3t}}{2} - \frac{e^{t}}{2}
  &= \frac{3 e^{3t}}{2} - \frac{e^{t}}{2}
\end{align}
</math>
<br>
例題 2:
ラプラス変換を用いて、以下の初期値問題を求めよ。
<math>
\begin{cases}
\dfrac{df(t)}{dt} + f(t) &= t \quad \cdots (1) \\
f(0) &= 0 \quad \cdots (2)
\end{cases}
</math>
解答:
(1)式の両辺をラプラス変換する。
<math>\mathcal{L} \bigg[ \dfrac{df(t)}{dt} \bigg] \mathcal{L} \bigg[ f(t) \bigg] = \mathcal{L} \bigg[ t \bigg]</math>
ここで、<math>\mathcal{L} \bigg[ f(t) \bigg] = F(s)</math> とおいて、微分法則を適用して計算する。
<math>{sF(s) - 0} + F(s) = \dfrac{1}{s^2}</math>
<math>\iff F(s) = \dfrac{1}{s^2}</math>
<math>\iff F(s) = \dfrac{1}{s^{2}(s + 1)} \quad \cdots (3)</math>
(3)式の右辺を部分分数展開する。
<math>\dfrac{1}{s^{2} (s + 1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s^2} + \dfrac{C}{(s + 1)}</math> とおいて、A、B、Cを求める。
両辺に <math>s^{2} (s + 1)</math> を乗算して、分子の各係数を比較する。
<math>1 = As(s + 1) + B(s + 1) + Cs^{2} = (A + C)s^{2} + (A + B)s + B \quad (4)</math>
(4)式の右辺の各係数を比較すると、
<math>
\begin{cases}
A + C &= 0 \\
A + B &= 0 \\
B &= 1
\end{cases}
</math>
より、
<math>A = -1, \, \, B = 1, \, \, C = 1</math> が得られる。
したがって、以下が得られる。
<math>
\begin{align}
F(s) &= \dfrac{1}{s^2 (s + 1)} \\
      & = - \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s^2} + \dfrac{1}{s + 1} \quad \cdots (5)
\end{align}
</math>
(5)式の両辺をラプラス逆変換して、<math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} \bigg[ Y(s) \bigg]</math> を求める。
<math>
\begin{align}
\mathcal{L}^{-1} \bigg[ F(s) \bigg] &= \mathcal{L}^{-1} \bigg[ - \dfrac{1}{s} \bigg] + \mathcal{L}^{-1} \bigg[ \dfrac{1}{s^2} \bigg] + \mathcal{L}^{-1} \bigg[ \dfrac{1}{s + 1} \bigg] \\
                                &= -1 + t + e^{-t}
  \end{align}
  \end{align}
  </math>
  </math>
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