📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
このWebサイトは2026年9月に閉鎖いたします。
新しい記事は移転先で追加しております。（旧サイトでは記事を追加しておりません）
ページの作成:「== 概要 == 3階以上の常微分方程式は、基本的には2階常微分方程式と変わらない。<br> <br> より高階の微分方程式 <math>\frac{d^{n} f(x)}{dx^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} f(x)}{dx^{n - 1}} + a_{n - 2} \frac{d^{n - 2} f(x)}{dx^{n - 2}} + \cdots + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)</math> の形の常微分方程式を考える。<br> <br> このように、最高階の常微分方程式について解かれているものを…」 |
|||
| (同じ利用者による、間の1版が非表示) | |||
| 7行目: | 7行目: | ||
<math>b(x) = 0</math> の時、同次方程式であるという。<br> | <math>b(x) = 0</math> の時、同次方程式であるという。<br> | ||
<br> | <br> | ||
2階線形常微分方程式ならば、 <math>\frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b( | 2階線形常微分方程式ならば、 <math>\frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)</math> である。<br> | ||
<br><br> | <br><br> | ||
| 76行目: | 76行目: | ||
<math>y = C_{1} + C_{2} e^{-x} + C_{3} x e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math> | <math>y = C_{1} + C_{2} e^{-x} + C_{3} x e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math> | ||
<br> | |||
==== 例題 4 ==== | |||
以下の微分方程式の一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} + 3 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} + 3 \frac{dy}{dx} + y = 0</math> | |||
解答: | |||
与式の特性方程式は、次のようになる。 | |||
<math>\lambda^{3} + 3 \lambda^{2} + 3 \lambda + 1 = 0</math> | |||
これを解くと、 <math>(\lambda + 1)^{3} = 0</math> より、 | |||
<math>\lambda = -1 \quad ( \mbox{ 3 重 解 } )</math> となる。 | |||
これより、基本解は <math>(e^{-x}, \, x e^{-x}, \, x^{2} e^{-x})</math> となる。 | |||
したがって、一般解は次のようになる。 | |||
<math>y = C_{1} e^{-x} + C_{2} x e^{-x} + C_{3} x^{2} e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math> | |||
<br><br> | <br><br> | ||