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基本解 (y1, y2) で全ての解関数yを表現できる。<br> | 基本解 (y1, y2) で全ての解関数yを表現できる。<br> | ||
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[[ファイル:Solution of Homogeneous Equations 1.png|フレームなし|中央]] | |||
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したがって、与式の一般解は次式となる。<br> | したがって、与式の一般解は次式となる。<br> | ||
<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br> | |||
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== 未定係数法 == | |||
==== 未定係数法とは ==== | |||
定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> において、<br> | |||
g(x)が特定の形（例えば、xの多項式やe<sup>ax</sup>の形）の場合、特殊解v(x)の形を推定できる場合がある。<br> | |||
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この場合、v(x)の形は、以下の定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式)の特性方程式の解とg(x)の形で決まる。<br> | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0</math><br> | |||
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このように、g(x)が特定の形の場合に有効な方法が未定係数法である。<br> | |||
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ただし、未定係数法は万能な方法ではなく、<br> | |||
定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式)において、g(x)が以下のような形の場合に有効な方法である。<br> | |||
(1) xの多項式の形。<br> | |||
(2) e<sup>ax</sup>の形。<br> | |||
(3) <math>\sin{\alpha x}</math> の形。<br> | |||
(4) <math>\cos{\beta x}</math> の形。<br> | |||
(5) 上記（1)〜(4)の組み合わせでできている形。<br> | |||
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以下、上記の場合を考慮して、g(x)の形、特性方程式の解、および特殊解v(x)の形の間の関係を記述する。<br> | |||
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==== 特殊解の形 ==== | |||
多項式 <math>p_n, \, P_n, \, Q_n</math> を定める。<br> | |||
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<math> | |||
\begin{cases} | |||
p_n(x) &= k_n x^n + k_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + k_1 x + k_0 \\ | |||
P_n(x) &= A_n x^n + A_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + A_1 x + A_0 \\ | |||
Q_n(x) &= B_n x^n + B_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + B_1 x + B_0 \\ | |||
\end{cases} | |||
</math><br> | |||
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（ <math>n = 0</math> の時は、<math>p_n(x), \, P_n(x), \, Q_n(x)</math> は定数となる）<br> | |||
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このとき、定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式): <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> におけるg(x)の形に応じて、<br> | |||
4通りに分類して、特殊解v(x)の形を見る。<br> | |||
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* <math>g(x) = p_n(x)</math> の場合の特殊解v(x) | |||
** <math>\lambda \ne 0</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = P_n(x)</math> | |||
** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 単 解 ) }</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x P_n(x)</math> | |||
** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 2 重 解 ) }</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x^2 P_n(x)</math> | |||
*: <br> | |||
* <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x}</math> の場合の特殊解v(x) | |||
** <math>\lambda \ne \alpha</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = P_n(x) e^{\alpha x}</math> | |||
** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 単 解 ) }</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x P_n(x) e^{\alpha x}</math> | |||
** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 2 重 解 ) }</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x^2 P_n(x) e^{\alpha x}</math> | |||
*: <br> | |||
* <math>g(x) = p_n(x) \sin{\beta x}</math> または <math>p_n(x) \cos{\beta x}</math> の場合 | |||
** <math>\lambda \ne i \beta</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = Pn(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x}</math> | |||
** <math>\lambda = i \beta</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x \{ Pn(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math> | |||
*: <br> | |||
* <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x} \sin{\beta x}</math> または <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x} \cos{\beta x}</math> の場合 | |||
** <math>\lambda \ne \alpha \pm i \beta</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math> | |||
** <math>\lambda = \alpha \pm i \beta</math> の時 | |||
**: <math>v(x) = x e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math> | |||
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==== 未定係数法の例題 ==== | |||
例題1 : | |||
以下の微分方程式の特殊解v(x)を未定係数法で求め、一般解を求めよ。 | |||
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> | |||
※ <math>g(x) = p_n(x) = k_1 x + k_0 = x</math> の形なので、<math>v(x) = P_n(x) = A_1 x + A0</math> の形になる。 | |||
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上式の特性方程式は、<math>\lambda^2 + 3 \lambda + 2 = 0</math> より、<math>\lambda = -2, \, -1</math><br> | |||
したがって、上式の基本解は <math>( e^{-2x}, \, e^{-x} )</math> となり、一般解は <math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math><br> | |||
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次に、非同次方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> の特殊解v(x)を求める。<br> | |||
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v(x)の形は、<u>g(x)がp<sub>n</sub>(x)の場合の特殊解v(x)はP<sub>n</sub>(x)になる</u>ことを考慮すると、<br> | |||
<math>v(x) = A_1 x + A_0 \quad (n = 1 \mbox{ の ケ ー ス } )</math> の形になることがわかる。<br> | |||
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以下、このA<sub>1</sub>、および、A<sub>0</sub>を求める。<br> | |||
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<math>v(x) = A_1 x + A_0, \quad \frac{dv(x)}{dx} = A_1, \quad \frac{d^2 v(x)}{dx} = 0</math><br> | |||
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これらを与式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> の左辺へ代入すると、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\frac{d^2 v(x)}{dx^2} + 3 \frac{d v(x)}{dx} + 2v(x) &= 0 + 3 A_1 + 2(A_1 x + A_0) \\ | |||
&= (2 A_1)x + (3 A_1 + 2 A_0) \\ | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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これが右辺の多項式xに等しくなるためには、<math>2 A_1 = 1, \quad 3 A_1 + 2 A_0 = 0</math> となる必要がある。<br> | |||
よって、<math>A_0 = - \frac{3}{4}, \quad A_1 = \frac{1}{2}</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、特殊解は以下になる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
v(x) &= \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} \\ | |||
&= \frac{2x - 3}{4} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
以上より、与式の一般解は以下になる。<br> | |||
<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br> | <math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br> | ||
<br><br> | <br><br> | ||