「応用数学 - 定数係数2階線形常微分方程式」の版間の差分

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 <br>
 基本解 (y1, y2) で全ての解関数yを表現できる。<br>
+<br>
+[[ファイル:Solution of Homogeneous Equations 1.png|フレームなし|中央]]
 <br><br>
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 <br><br>
-== 定数係数2階線形常微分方程式 (同時方程式)の例題 ==
+== 定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式)の例題 ==
   例題 1 ：
   以下の微分方程式の一般解を求めよ。
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 よって、一般解は次式となる。<br>
 <math>y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br>
+<br><br>
+== 定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) ==
+ 定理 :
+ 定数係数2階線形微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> の一般解yは、次式で求めることができる。
+ <math>y = \mbox{ 同 次 方 程 式 の 一 般 解 } + \mbox{ 非 同 次 方 程 式 の 特 殊 解 }</math>
+<br>
+定数係数2階線形常微分方程式(非同次方程式)の特殊解の求め方として、以下の3つがある。<br>
+(1) 定数変化法（variation of constants）<br>
+(2) 未定係数法（method of undetermined coefficients）<br>
+(3) 記号法（symbolic method）<br>
+<br><br>
+== 定数変化法 ==
+以下の定理の証明を与える方法を定数変化法という。<br>
+<br>
+ 定理 :
+ 定数係数2階線形常微分微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0</math> の基本解を(y1, y2)とする時、
+ 以下のv(x)は、定数係数2階線形常微分方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> の特殊解である。
+ ここで、<math>W [y_1, \, y_2]</math> は、ロンスキー行列式であり、<math>\int</math> は原始関数を表す。
+ <math>v(x) = - y_1 \int{ \frac{y_2 \, g(x)}{W [ y1, \, y2 ]}} dx + y_2 \int{ \frac{y_1 \, g(x)}{W [ y_1, \, y_2 ]}} dx</math>
+<br>
+定数変化法では、g(x)が考察中の区間Iで連続であれば、どんな関数に対しても特殊解v(x)を求めることができる。<br>
+ただし、g(x)によっては、原始関数をよく知られた関数で表せない場合もある。<br>
+<br>
+ 定数変化法の例題1 :
+ 以下の微分方程式の特殊解v(x)を定数変化法で求め、一般解を求めよ。
+ <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math>
+<br>
+同次方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0</math> の基本解は、<math>(e^{-2x}, \, e^{-x})</math>、<br>
+<br>
+一般解は、<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} \quad \cdots \quad (C_1,\, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br>
+<br>
+<math>y_1 = e^{-2x}, \, y_2 = e^{-x}, \, g(x) = x</math> とおいて、定数変化法の公式を用いて特殊解v(x)を求める。<br>
+<br>
+<math>
+\begin{align}
+W [ y_1, \, y_2 ] &=
+\begin{vmatrix}
+e^{-2x}    & e^{-x}  \\
+-2 e^{-2x} & -e^{-x}
+\end{vmatrix} \\
+&= -e^{-3x} + 2e^{-3x} \\
+&= e^{-3x}
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+<math>
+\begin{align}
+v(x) &= - y_1 \int{ \frac{y_2 \, g(x)}{W [ y1, \, y2 ]}} dx + y_2 \int{ \frac{y_1 \, g(x)}{W [ y_1, \, y_2 ]}} dx \\
+&= -e^{-2x} \int{\frac{e^{-x} \, x}{e^{-3x}}} dx + e^{-x} \int{\frac{e^{-2x} \, x}{e^{-3x}}} dx \\
+&= -e^{-2x} \int{x e^{2x}} dx + e^{-x} \int{x e^x} dx \\
+&= -e^{-2x} \left ( \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \int{e^{2x}} \right ) dx + e^{-x} \left ( x e^x - \int{e^x} \right ) dx \\
+&= - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} + x - 1 \\
+&= \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} \\
+&= \frac{2x - 3}{4}
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+したがって、与式の一般解は次式となる。<br>
+<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br>
+<br><br>
+== 未定係数法 ==
+==== 未定係数法とは ====
+定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> において、<br>
+g(x)が特定の形（例えば、xの多項式やe<sup>ax</sup>の形）の場合、特殊解v(x)の形を推定できる場合がある。<br>
+<br>
+この場合、v(x)の形は、以下の定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式)の特性方程式の解とg(x)の形で決まる。<br>
+<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = 0</math><br>
+<br>
+このように、g(x)が特定の形の場合に有効な方法が未定係数法である。<br>
+<br>
+ただし、未定係数法は万能な方法ではなく、<br>
+定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式)において、g(x)が以下のような形の場合に有効な方法である。<br>
+(1) xの多項式の形。<br>
+(2) e<sup>ax</sup>の形。<br>
+(3) <math>\sin{\alpha x}</math> の形。<br>
+(4) <math>\cos{\beta x}</math> の形。<br>
+(5) 上記（1)〜(4)の組み合わせでできている形。<br>
+<br>
+以下、上記の場合を考慮して、g(x)の形、特性方程式の解、および特殊解v(x)の形の間の関係を記述する。<br>
+<br>
+==== 特殊解の形 ====
+多項式 <math>p_n, \, P_n, \, Q_n</math> を定める。<br>
+<br>
+<math>
+\begin{cases}
+p_n(x) &= k_n x^n + k_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + k_1 x + k_0 \\
+P_n(x) &= A_n x^n + A_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + A_1 x + A_0 \\
+Q_n(x) &= B_n x^n + B_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + B_1 x + B_0 \\
+\end{cases}
+</math><br>
+<br>
+（ <math>n = 0</math> の時は、<math>p_n(x), \, P_n(x), \, Q_n(x)</math> は定数となる）<br>
+<br>
+このとき、定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式): <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> におけるg(x)の形に応じて、<br>
+通りに分類して、特殊解v(x)の形を見る。<br>
+<br>
+* <math>g(x) = p_n(x)</math> の場合の特殊解v(x)
+** <math>\lambda \ne 0</math> の時
+**: <math>v(x) = P_n(x)</math>
+** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 単 解 ) }</math> の時
+**: <math>v(x) = x P_n(x)</math>
+** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 2 重 解 ) }</math> の時
+**: <math>v(x) = x^2 P_n(x)</math>
+*: <br>
+* <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x}</math> の場合の特殊解v(x)
+** <math>\lambda \ne \alpha</math> の時
+**: <math>v(x) = P_n(x) e^{\alpha x}</math>
+** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 単 解 ) }</math> の時
+**: <math>v(x) = x P_n(x) e^{\alpha x}</math>
+** <math>\lambda = 0 \mbox{ ( 2 重 解 ) }</math> の時
+**: <math>v(x) = x^2 P_n(x) e^{\alpha x}</math>
+*: <br>
+* <math>g(x) = p_n(x) \sin{\beta x}</math> または <math>p_n(x) \cos{\beta x}</math> の場合
+** <math>\lambda \ne i \beta</math> の時
+**: <math>v(x) = Pn(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x}</math>
+** <math>\lambda = i \beta</math> の時
+**: <math>v(x) = x \{ Pn(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math>
+*: <br>
+* <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x} \sin{\beta x}</math> または <math>g(x) = p_n(x) e^{\alpha x} \cos{\beta x}</math> の場合
+** <math>\lambda \ne \alpha \pm i \beta</math> の時
+**: <math>v(x) = e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math>
+** <math>\lambda = \alpha \pm i \beta</math> の時
+**: <math>v(x) = x e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math>
+<br>
+==== 未定係数法の例題 ====
+ 例題1 :
+ 以下の微分方程式の特殊解v(x)を未定係数法で求め、一般解を求めよ。
+ <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math>
+ ※ <math>g(x) = p_n(x) = k_1 x + k_0 = x</math> の形なので、<math>v(x) = P_n(x) = A_1 x + A0</math> の形になる。
+<br>
+上式の特性方程式は、<math>\lambda^2 + 3 \lambda + 2 = 0</math> より、<math>\lambda = -2, \, -1</math><br>
+したがって、上式の基本解は <math>( e^{-2x}, \, e^{-x} )</math> となり、一般解は <math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 } )</math><br>
+<br>
+次に、非同次方程式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> の特殊解v(x)を求める。<br>
+<br>
+v(x)の形は、<u>g(x)がp<sub>n</sub>(x)の場合の特殊解v(x)はP<sub>n</sub>(x)になる</u>ことを考慮すると、<br>
+<math>v(x) = A_1 x + A_0 \quad (n = 1 \mbox{ の ケ ー ス } )</math> の形になることがわかる。<br>
+<br>
+以下、このA<sub>1</sub>、および、A<sub>0</sub>を求める。<br>
+<br>
+<math>v(x) = A_1 x + A_0, \quad \frac{dv(x)}{dx} = A_1, \quad \frac{d^2 v(x)}{dx} = 0</math><br>
+<br>
+これらを与式 <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = x</math> の左辺へ代入すると、<br>
+<math>
+\begin{align}
+\frac{d^2 v(x)}{dx^2} + 3 \frac{d v(x)}{dx} + 2v(x) &= 0 + 3 A_1 + 2(A_1 x + A_0) \\
+&= (2 A_1)x + (3 A_1 + 2 A_0) \\
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+これが右辺の多項式xに等しくなるためには、<math>2 A_1 = 1, \quad 3 A_1 + 2 A_0 = 0</math> となる必要がある。<br>
+よって、<math>A_0 = - \frac{3}{4}, \quad A_1 = \frac{1}{2}</math><br>
+<br>
+したがって、特殊解は以下になる。<br>
+<math>
+\begin{align}
+v(x) &= \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} \\
+&= \frac{2x - 3}{4}
+\end{align}
+</math><br>
+<br>
+以上より、与式の一般解は以下になる。<br>
+<math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]