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| 31行目: | 31行目: | ||
<math>\Delta l=\sqrt{(x(t+ \Delta t)-x(t))^2+(y(t+ \Delta t)-y(t))^2}</math><br> | <math>\Delta l=\sqrt{(x(t+ \Delta t)-x(t))^2+(y(t+ \Delta t)-y(t))^2}</math><br> | ||
<br> | <br> | ||
また、ほぼ直線的に変化しているので、<math>x(t + \Delta t) - x(t) \mbox{は } \frac{dx}{dt}\Delta t, \quad y(t + \Delta t) - y(t) \mbox{は } \frac{dy}{dt}\Delta t</math>と近似できる。<br> | |||
<math>\Delta l=\sqrt{(\frac{dx}{dt}\Delta t)^2+(\frac{dy}{dt}\Delta t)^2}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\Delta t</math><br> | <math> | ||
\begin{align} | |||
\Delta l &= \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt}\Delta t \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt}\Delta t \right )^2} \\ | |||
&= \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} \Delta t | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | <br> | ||
ここで、Δtが無限に小さいと考えれば、次式のようになる。<br> | ここで、Δtが無限に小さいと考えれば、次式のようになる。<br> | ||
<math>dl=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt</math><br> | <math>dl = \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} dt</math><br> | ||
<br> | <br> | ||
dlが微小時間dtに点がコース上を進む微小距離である。(dtとは、1変数の関数f(x)を積分するときのdxに相当する部分である)<br> | |||
x(t)とy(t)が具体的に分かっていれば、tのみの関数として表される。 | x(t)とy(t)が具体的に分かっていれば、tのみの関数として表される。<br> | ||
この地点での<math>h(x, y)</math>の値は、tの時と<math>t + dt</math>の時とでほとんど同じ値なので、<math>h(x(t), y(t))</math>を使用する。<br> | |||
<br> | <br> | ||
次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br> | 次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br> | ||
<math>\int_{a}^{b}h(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} | <math>\int_{a}^{b} h(x(t), y(t))\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} dt</math><br> | ||
<br> | <br> | ||
==== 例題. 1 ==== | ==== 例題. 1 ==== | ||
経路Cが以下のC<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>のそれぞれの場合、以下の線積分の値を求めよ。 | 経路Cが以下のC<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>のそれぞれの場合、以下の線積分の値を求めよ。 | ||
| 53行目: | 59行目: | ||
<math>\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy = \int_C (2x + y) dx + \int_C (x - y) dy</math>である。<br> | <math>\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy = \int_C (2x + y) dx + \int_C (x - y) dy</math>である。<br> | ||
<br> | <br> | ||
1.では、<math>y = x</math>のため、第2項は<math>(x - y) = (x - x) = 0</math>となる。<br> | 1.では、<math>\frac{dy}{dx} = 1 \quad \mbox{よ り } \quad dy = dx</math> となるが、 <math>y = x</math>のため、第2項は<math>(x - y) = (x - x) = 0</math>となる。<br> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| 79行目: | 85行目: | ||
<math>\nabla \times \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0}</math>(渦なし)の時、線積分は経路によらず始点と終点で決まる。<br> | <math>\nabla \times \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0}</math>(渦なし)の時、線積分は経路によらず始点と終点で決まる。<br> | ||
<br> | <br> | ||
上記の例では、<math>\frac{\partial}{\partial x} | 上記の例では、 | ||
<math> | |||
\begin{pmatrix} | |||
\frac{\partial}{\partial x} \\ | |||
\frac{\partial}{\partial y} \\ | |||
\frac{\partial}{\partial z} | |||
\end{pmatrix} | |||
\begin{pmatrix} | |||
2x + y \\ | |||
x - y \\ | |||
0 | |||
\end{pmatrix} | |||
= | |||
\begin{pmatrix} | |||
- \frac{\partial (2x + y)}{\partial z} \\ | |||
\frac{\partial (x + y)}{\partial z} \\ | |||
\frac{\partial (x - y)}{\partial x} - \frac{\partial (2x + y)}{\partial y} | |||
\end{pmatrix} | |||
= | |||
\begin{pmatrix} | |||
0 \\ | |||
0 \\ | |||
0 | |||
\end{pmatrix} | |||
\quad \mbox{ と な り 、 } | |||
</math> 渦なしの条件を満たしているため、<br> | |||
1.および2.の2通りの線積分において、同様の計算結果となる。<br> | 1.および2.の2通りの線積分において、同様の計算結果となる。<br> | ||
<br><br> | <br><br> | ||
| 105行目: | 136行目: | ||
この曲線上で、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の接線方向成分の大きさを表すスカラー関数<math>F_t(s)</math>を考える。(sはAからの孤の長さである)<br> | この曲線上で、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の接線方向成分の大きさを表すスカラー関数<math>F_t(s)</math>を考える。(sはAからの孤の長さである)<br> | ||
<u>※接線はタンジェントラインと呼ぶため、接線方向成分の意味でtを添字にしている。</u><br> | <u>※接線はタンジェントラインと呼ぶため、接線方向成分の意味でtを添字にしている。</u><br> | ||
[[ファイル:Line Integral 2.png|フレームなし|中央]] | |||
<br> | <br> | ||
<math>F_t(s)</math>の線積分は、次式となる。<br> | <math>F_t(s)</math>の線積分は、次式となる。<br> | ||
| 115行目: | 147行目: | ||
曲線経路Cをsのパラメータ(媒介変数)として、<math>\overrightarrow{r}(s) = x(s) \overrightarrow{i} + y(s)\overrightarrow{j} + z(s)\overrightarrow{k}</math>と表すと、<br> | 曲線経路Cをsのパラメータ(媒介変数)として、<math>\overrightarrow{r}(s) = x(s) \overrightarrow{i} + y(s)\overrightarrow{j} + z(s)\overrightarrow{k}</math>と表すと、<br> | ||
単位接線ベクトル<math>\overrightarrow{t}</math>は、<math>\overrightarrow{t} = \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}</math>となる。<br> | 単位接線ベクトル<math>\overrightarrow{t}</math>は、<math>\overrightarrow{t} = \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}</math>となる。<br> | ||
ただし、<math>d \overrightarrow{r}</math>は、曲線経路Cを細かく分割した微小ベクトルであり、線素ベクトルと呼ばれる。<br> | |||
<br> | <br> | ||
したがって、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の線積分は、以下のようにも記述できる。<br> | したがって、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の線積分は、以下のようにも記述できる。<br> | ||
| 126行目: | 159行目: | ||
記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。<br> | 記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。<br> | ||
<br> | <br> | ||
==== 例題.1 ==== | ==== 例題.1 ==== | ||
ベクトル関数<math>\overrightarrow{F}(x,y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>について、経路Cにおける以下の線積分を求めよ。<br> | ベクトル関数<math>\overrightarrow{F}(x,y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>について、経路Cにおける以下の線積分を求めよ。<br> | ||
| 156行目: | 190行目: | ||
<br> | <br> | ||
上記のポイントを踏まえて、線積分を計算する。<br> | 上記のポイントを踏まえて、線積分を計算する。<br> | ||
ここで、ドット(⋅)は内積を表している。<br> | |||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| 162行目: | 197行目: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math><br> | </math><br> | ||
ここで、<math>\overrightarrow{F}(x, y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>を成分表示すると、<math>\begin{pmatrix} -3x^2 \\ 5xy \end{pmatrix}</math>である。<br> | ここで、<math>\overrightarrow{F}(x, y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>を成分表示すると、<math>\begin{pmatrix} -3x^2 \\ 5xy \end{pmatrix}</math>である。<br> | ||
同様に、 <math>dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}</math>の成分表示は、<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}</math>である。<br> | 同様に、 <math>dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}</math>の成分表示は、<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4t \end{pmatrix} dt</math>である。<br> | ||
<br> | <br> | ||
次に、xとyをパラメータt(ここでは、<math>x = t, \ y = 4t dt</math>を代入する) | 次に、xとyをパラメータt(ここでは、<math>x = t, \quad y = 4t^2, \quad dx = dt, \quad dy = 4t dt</math>を代入する)で記述する。<br> | ||
これが、経路Cを満たすように式変形するということである。<br> | |||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| 178行目: | 213行目: | ||
</math><br> | </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
==== 例題. 2 ==== | ==== 例題. 2 ==== | ||
ベクトル場<math>\ | ベクトル場<math>\vec{F} = a(\sin t \vec{i} + \cos t \vec{j})</math>(aは正の定数)において、 | ||
経路Cを<math>C: \ | 経路Cを<math>C: \vec{r} = \cos t \vec{i} + \sin t \vec{j} + bt \vec{k} \quad \Big( 0 \le t \le \frac{\pi}{4} \Big)</math>)とする時、 | ||
線積分<math>\int_C \ | 線積分<math>\int_C \vec{F} \cdot d \vec{r}</math>を求めよ。 | ||
<br> | <br> | ||
<math>\ | <math>\vec{r} = \cos t \vec{i} + \sin t \vec{j} + bt \vec{k}</math>をtで微分すると、<br> | ||
<math>\frac{ | <math>\frac{\vec{dr}}{dt} = - \sin t \vec{i} + \cos t \vec{j} + b \vec{k}</math>となり、<br> | ||
<math> | <math>\vec{dr} = (-\sin t \vec{i} + \cos t \vec{j} + b \vec{k}) dt</math>である。<br> | ||
<br> | <br> | ||
<math> | <math>\vec{dr}</math>を成分表示すると、<math>\vec{dr} = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \\ b \end{pmatrix} dt</math>となる。<br> | ||
また、<math>\ | また、<math>\vec{F}</math>を成分表示すると、<math>\vec{F} = \begin{pmatrix} a \cos t \\ a \cos t \\ 0 \end{pmatrix}</math>である。<br> | ||
<br> | <br> | ||
内積はx成分、y成分、z成分それぞれ乗算した後に加算して求めるため、以下のように計算できる。<br> | 内積はx成分、y成分、z成分それぞれ乗算した後に加算して求めるため、以下のように計算できる。<br> | ||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
\ | \vec{F} \cdot d \vec{r} &= \begin{pmatrix} a \sin t \\ a \cos t \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \\ b \end{pmatrix} dt \\ | ||
&= a (- \sin^2 t + \cos^2 t) dt \\ | &= a (- \sin^2 t + \cos^2 t) dt \\ | ||
&= a \cos 2t \qquad \because \cos{2 \theta} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} | &= a \cos 2t \qquad \because \cos{2 \theta} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} | ||
| 201行目: | 237行目: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
\int_C \ | \int_C \vec{F} \cdot \vec{dr} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} a \cos 2t dt \\ | ||
&= \Big[ \frac{a \sin2t}{2}\Big]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ | &= \Big[ \frac{a \sin2t}{2} \Big]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ | ||
&= \frac{a}{2} \Big\{ \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) - \sin 0 \Big\} \\ | &= \frac{a}{2} \Big\{ \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) - \sin 0 \Big\} \\ | ||
&= \frac{a}{2} (1 - 0) \\ | &= \frac{a}{2} (1 - 0) \\ | ||
&= \frac{a}{2} | &= \frac{a}{2} | ||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
==== 例題. 3 ==== | |||
aを定数として、<math>\vec{F} = \langle -ay, ax, 0 \rangle</math>というベクトル場を考える。 | |||
この時、次の問を求めよ。 | |||
(1) 下図左のように、点A ： (1, 0, 0)、点B ： (1, 1, 0)、点C ： (0, 1, 0)の3点をつないだ閉曲線cを考える。 | |||
この閉曲線Cに沿った<math>\vec{F}</math>の線積分を求めよ。 | |||
ただし、線積分の向きは、下図左の矢印の方向(反時計方向)を正にとる。 | |||
(2) 下図右のように、点A ： (1, 0, 0)から点C ： (0, 1, 0)まで、原点Oを中心とする半径1の円の円周に沿って曲線ℓを引く。 | |||
この曲線lに沿った<math>\vec{F}</math>の線積分を求めよ。 | |||
ただし、線積分の向きは、下図右の矢印の方向(反時計方向)を正にとる。 | |||
[[ファイル:Line Integral 3.png|フレームなし|中央]] | |||
<br> | |||
(1)の求め方<br> | |||
経路C上の位置ベクトル<math>\vec{r}</math>を1つの変数で表す。<br> | |||
経路Cは3本の線分から構成されているため、各線分の線積分を計算して加算する。<br> | |||
<br> | |||
(i) 線分AB上での線積分<br> | |||
線分AB上の位置ベクトルを<math>\vec{r_1}</math>とする時、<math>x = 1, y = t</math>とおくと、<math>\vec{r_1} = \langle 1, t, 0 \rangle</math>となる。<br> | |||
<math>\frac{\vec{dr_1}}{dt} = \langle 0, 1, 0 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>より、線素ベクトル<math>\vec{dr_1}</math>は、<math>\vec{dr_1} = \langle 0, 1, 0 \rangle dt = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} dt</math>となる。<br> | |||
<br> | |||
さらに、ベクトル場<math>\vec{F}</math>に位置ベクトル<math>\vec{r_1}</math>を適用(<math>x = 1, y = t</math>を代入)すると、<math>\vec{F} = \langle -at, a, 0 \rangle = \begin{pmatrix} -at \\ a \\ 0 \end{pmatrix}</math>となる。<br> | |||
よって、経路ABの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は<math>t:0 \rightarrow 1</math>となるため、線分AB上での線積分は次式となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_{AB} \vec{F} \cdot \vec{dr_1} &= \int_{0}^{1} \langle -at, a, 0 \rangle \cdot \langle 0, 1, 0 \rangle \\ | |||
&= a \int_{0}^{1}dt \\ | |||
&= a | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
(ii) 線分BC上での線積分<br> | |||
線分BC上の位置ベクトルを<math>\vec{r_2}</math>とする時、<math>x = t, y = 1</math>とおくと、<math>\vec{r_2} = \langle t, 1, 0 \rangle</math>となる。<br> | |||
<math>\frac{\vec{dr_2}}{dt} = \langle 1, 0, 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>より、線素ベクトル<math>\vec{dr_2}</math>は、<math>\vec{dr_2} = \langle 1, 0, 0 \rangle dt = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} dt</math>となる。<br> | |||
<br> | |||
さらに、ベクトル場<math>\vec{F}</math>に位置ベクトル<math>\vec{r_2}</math>を適用(<math>x = t, y = 1</math>を代入)すると、<math>\vec{F} = \langle -a, at, 0 \rangle = \begin{pmatrix} -a \\ at \\ 0 \end{pmatrix}</math>となる。<br> | |||
よって、経路BCの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は<math>t:1 \rightarrow 0</math>となるため、線分BC上での線積分は次式となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_{BC} \vec{F} \cdot \vec{dr_2} &= \int_{1}^{0} \langle -a, at, 0 \rangle \cdot \langle 1, 0, 0 \rangle \\ | |||
&= -a \int_{1}^{0}dt \\ | |||
&= a | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
(iii) 線分CA上での線積分<br> | |||
線分CA上の位置ベクトルを<math>\vec{r_3}</math>とする時、<math>x = t, y = -t + 1</math>とおくと、<math>\vec{r_3} = \langle t, -t + 1, 0 \rangle</math>となる。<br> | |||
<math>\frac{\vec{dr_3}}{dt} = \langle 1, -1, 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>より、線素ベクトル<math>\vec{dr_3}</math>は、<math>\vec{dr_3} = \langle 1, -1, 0 \rangle dt = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} dt</math>となる。<br> | |||
<br> | |||
さらに、ベクトル場<math>\vec{F}</math>に位置ベクトル<math>\vec{r_3}</math>を適用(<math>x = t, y = -t + 1</math>を代入)すると、<math>\vec{F} = \langle at -a, at, 0 \rangle = \begin{pmatrix} at - a \\ at \\ 0 \end{pmatrix}</math>となる。<br> | |||
よって、経路CAの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は<math>t:0 \rightarrow 1</math>となるため、線分CA上での線積分は次式となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_{CA} \vec{F} \cdot \vec{dr_3} &= \int_{0}^{1} \langle at - a, at, 0 \rangle \cdot \langle 1, -1, 0 \rangle \\ | |||
&= \int_{0}^{1} (at - a - at) dt \\ | |||
&= \int_{0}^{1} -a dt \\ | |||
&= -a \int_{0}^{1} dt \\ | |||
&= -a \Big[ t \Big]_{0}^{1} \\ | |||
&= -a | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
したがって、<math>\int_{C} \vec{F} \cdot \vec{dr} = \int_{AB} \vec{F} \cdot \vec{dr_1} + \int_{BC} \vec{F} \cdot \vec{dr_2} + \int_{CA} \vec{F} \cdot \vec{dr_3} = a + a - a = a</math>となる。<br> | |||
<br> | |||
(2)の求め方<br> | |||
経路lは原点Oを中心とする半径1の円である。<br> | |||
経路l上の位置ベクトルを<math>\vec{r}</math>とする時、極座標表示を用いて<math>x = cos \theta, y = \sin \theta</math>とおくと、<math>\vec{r} = \langle \cos \theta, \sin \theta, 0 \rangle</math>となる。<br> | |||
<math>\frac{\vec{dr}}{dt} = \langle - \sin \theta, \cos \theta, 0 \rangle = \begin{pmatrix} - \sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{pmatrix}</math>より、線素ベクトル<math>\vec{dr}</math>は、<math>\vec{dr} = \langle - \sin \theta, \cos \theta, 0 \rangle dt = \begin{pmatrix} - \sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{pmatrix} dt</math>となる。<br> | |||
<br> | |||
さらに、ベクトル場<math>\vec{F}</math>に位置ベクトル<math>\vec{r}</math>を適用(<math>x = \cos \theta, y = \sin \theta</math>を代入)すると、<math>\vec{F} = \langle -a \sin \theta, a \cos \theta, 0 \rangle = \begin{pmatrix} -a \sin \theta \\ a \cos \theta \\ 0 \end{pmatrix}</math>となる。<br> | |||
よって、経路lの矢印の向きを考慮すると、積分範囲は<math>t:0 \rightarrow \frac{\pi}{2}</math>となるため、経路l上での線積分は次式となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\int_{l} \vec{F} \cdot \vec{dr} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \langle -a \sin \theta, a \cos \theta, 0 \rangle \cdot \langle - \sin \theta, \cos \theta, 0 \rangle \\ | |||
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a \sin^2 \theta + a \cos^2 \theta) dt \\ | |||
&= a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) dt \\ | |||
&= a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dt \qquad \because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\ | |||
&= a \Big[ t \Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ | |||
&= \frac{a \pi}{2} | |||
\end{align} | \end{align} | ||
</math><br> | </math><br> | ||