📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
このWebサイトは2026年9月に閉鎖いたします。
新しい記事は移転先で追加しております。（旧サイトでは記事を追加しておりません）
編集の要約なし |
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| (同じ利用者による、間の3版が非表示) | |||
| 12行目: | 12行目: | ||
2変数間の相関係数r<sub>xy</sub>の絶対値が大きい場合に有効である。<br> | 2変数間の相関係数r<sub>xy</sub>の絶対値が大きい場合に有効である。<br> | ||
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<math>a = \frac{\mbox{x と y の 共 分 散 }}{\mbox{x の 母 分 散 }}</math><br> | <math> | ||
\begin{align} | |||
a &= \frac{\mbox{ x と y の 共 分 散 }}{\mbox{ x の 母 分 散 }} \\ | |||
&= \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sigma_x^2} | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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<math>b = \bar{y} - a \bar{x}</math><br> | <math>b = \bar{y} - a \bar{x}</math><br> | ||
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| 31行目: | 37行目: | ||
* 代入するxの値には注意が必要である。 | * 代入するxの値には注意が必要である。 | ||
** 内挿 (問題なし) | ** 内挿 (問題なし) | ||
**: <math>\mbox{元 デ ー タ の 最 小 x} \leqq \mbox{代 入 す る x} \leqq \mbox{元 デ ー タ の 最 大 x}</math> | **: <math>\mbox{ 元 デ ー タ の 最 小 x } \leqq \mbox{ 代 入 す る x } \leqq \mbox{ 元 デ ー タ の 最 大 x }</math> | ||
** 外挿 (問題あり : 範囲外での推定精度は保証できないため) | ** 外挿 (問題あり : 範囲外での推定精度は保証できないため) | ||
**: <math>\mbox{代 入 す る x} \leqq \mbox{元 デ ー タ の 最 小 x}</math> | **: <math>\mbox{ 代 入 す る x } \leqq \mbox{ 元 デ ー タ の 最 小 x }</math> | ||
**: または | **: または | ||
**: <math>\mbox{元 デ ー タ の 最 大 x} \leqq \mbox{代 入 す る x}</math> | **: <math>\mbox{ 元 デ ー タ の 最 大 x } \leqq \mbox{ 代 入 す る x }</math> | ||
**: <br> | **: <br> | ||
**: ただし、外挿しても問題ない場合もあるため、推定結果が妥当かどうかを常に考えることが重要である。 | **: ただし、外挿しても問題ない場合もあるため、推定結果が妥当かどうかを常に考えることが重要である。 | ||
| 45行目: | 51行目: | ||
<br> | <br> | ||
* 寄与率R<sup>2</sup>は、0〜1の範囲にあり、回帰直線の精度が高いほど寄与率は1に近づく。 | * 寄与率R<sup>2</sup>は、0〜1の範囲にあり、回帰直線の精度が高いほど寄与率は1に近づく。 | ||
* 相関係数r<sub>xy</sub>の2乗が寄与率R<sup>2</sup>に等しい。<br><math>R^2 = (r_{xy})^{2} = \mbox{( 相 関 係 数 )}^{2}</math> | * 相関係数r<sub>xy</sub>の2乗が寄与率R<sup>2</sup>に等しい。<br><math>R^2 = (r_{xy})^{2} = \mbox{( 相 関 係 数 )}^{2}</math> | ||
<br><br> | <br><br> | ||
| 54行目: | 60行目: | ||
[[ファイル:Statistics 4 1.png|フレームなし|中央]] | [[ファイル:Statistics 4 1.png|フレームなし|中央]] | ||
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真値との誤差の2乗 <math>\epsilon_{i}^{2} = (y_i - y_i)^{2}</math> の総和が最小になれば、直線モデル(回帰直線)が最良になる。<br> | 真値との誤差の2乗 <math>\epsilon_{i}^{2} = (y_i - \hat{y_i})^{2}</math> の総和が最小になれば、直線モデル(回帰直線)が最良になる。<br> | ||
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元の値y<sub>i</sub>と回帰直線で推定した値 <math>\hat{y_i} = a x_i + b</math> の差(誤差 <math>\epsilon_{i}^{2} = (y_i - \hat{y_i})^2</math> )が最小になるようにするには、<br> | |||
全データの誤差の2乗(<math>\epsilon_{i}^{2} = (y_i - \hat{y_i})^{2}</math>)の和が最小になるように、直線の傾きaと切片bを決める。<br> | 全データの誤差の2乗(誤差<math>\epsilon_{i}^{2} = (y_i - \hat{y_i})^{2}</math>)の和が最小になるように、直線の傾きaと切片bを決める。<br> | ||
<br> | <br> | ||
これを、<u>最小2乗法</u>と呼ぶ。<br> | これを、<u>最小2乗法</u>と呼ぶ。<br> | ||
| 68行目: | 74行目: | ||
</math><br> | </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
全データ組の誤差の2乗和S<sub>e</sub>を最小にする回帰係数a、bを求める。<br> | |||
<math> | <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| 76行目: | 82行目: | ||
</math><br> | </math><br> | ||
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上記の回帰係数を求めるには、S<sub>e</sub>の偏微分の結果が0となる鞍点を求める。<br> | |||
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\begin{align} | \begin{align} | ||
| 114行目: | 120行目: | ||
a &= \frac{\sum_{i=1}^N {(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum_{i=1}^N {(x_i - \bar{x})^{2}}} \\ | a &= \frac{\sum_{i=1}^N {(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum_{i=1}^N {(x_i - \bar{x})^{2}}} \\ | ||
&= \frac{C_{xy}}{\sigma_{x}^{2}} \\ | &= \frac{C_{xy}}{\sigma_{x}^{2}} \\ | ||
&= \frac{\mbox{x と y の 共 分 散 }}{\mbox{x の 母 分 散 }} | &= \frac{\mbox{ x と y の 共 分 散 }}{\mbox{ x の 母 分 散 }} | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math><br> | </math><br> | ||
<br> | <br> | ||
全データ組の誤差の2乗和Seが最小になる回帰係数は、<br> | 全データ組の誤差の2乗和Seが最小になる回帰係数は、<br> | ||
<math>a = \frac{\mbox{x と y の 共 分 散 }}{\mbox{x の 母 分 散 }}</math><br> | <math>a = \frac{\mbox{ x と y の 共 分 散 }}{\mbox{ x の 母 分 散 }}</math><br> | ||
<math>b = \bar{y} - a \bar{x}</math><br> | <math>b = \bar{y} - a \bar{x}</math><br> | ||
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