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「線形代数の基礎 - 逆行列」の版間の差分

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ここでは、与えられた正方行列の逆行列を求める方法と具体的な計算例を記載する。<br>
ここでは、与えられた正方行列の逆行列を求める方法と具体的な計算例を記載する。<br>
なお、公式の証明は線形代数の専門書を参照すること。<br>
なお、公式の証明は線形代数の専門書を参照すること。<br>
<br><br>
== 正則な行列 ==
正則行列とは、正方行列Aについて、<math>AB = BA = I</math> (単位行列) となる行列Bが存在する時、Aを正則行列という。<br>
<br>
# 正則行列の例:
<math>A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}</math> について考える。
逆行列 <math>B = \begin{pmatrix}
3 & -2 \\
1 &  1
\end{pmatrix}</math>
<math>AB = BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> となる。
したがって、Aは正則行列である。
<br>
# 正則でない行列の例:
<math>A = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}</math> について考える。
Bをどのようにとっても、行列Aと行列Bの積の左上成分は0になるため、単位行列にはならない。
したがって、行列Aは正則ではない。
<br><br>
== 正則行列の判定法 ==
定理1:
Aが正則 <math>\iff \mbox{det} A \ne 0</math>
<br>
例題:
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}</math> は正則か？
Aの行列式を計算すると、1となる。
<math>\mbox{det} A \ne 0</math> となるので、行列Aは正則である。
<br><br>
<br><br>


23行目: 68行目:
<br>
<br>
次に、余因子を計算する。<br>
次に、余因子を計算する。<br>
<math>\Delta_{11}=(-1)^{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-2</math><br>
<math>
<math>\Delta_{21}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3</math><br>
\Delta_{11}=(-1)^{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \qquad \qquad
<math>\Delta_{31}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1</math><br>
\Delta_{12}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \qquad \qquad
Δ12からΔ33の6個も同様に計算できる。<br>
\Delta_{13}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4
</math><br>
<br>
<math>
\Delta_{21}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \qquad \qquad
\Delta_{22}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad
\Delta_{23}=(-1)^{5} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2
</math><br>
<math>
\Delta_{31}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad
\Delta_{32}=(-1)^{5} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad
\Delta_{33}=(-1)^{6} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 2
</math><br>
<br>
Δ11からΔ33より、余因子行列Δは以下となる。<br>
<math>\Delta = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -4 \\ -3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math><br>
<br>
余因子行列Δを転置する。<br>
<math>\Delta^{T} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}</math><br>
<br>
<br>
したがって、逆行列A<sup>-1</sup>は次のようになる。<br>
したがって、逆行列A<sup>-1</sup>は次のようになる。<br>
<math>A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br>
<math>A^{-1} = \frac{\Delta^{T}}{\det A} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br>
<br><br>
<br><br>


62行目: 125行目:
したがって、<math>A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>となる。<br>
したがって、<math>A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>となる。<br>
<br><br>
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|title={{PAGENAME}} : Exploring Electronics and SUSE Linux | MochiuWiki
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[[カテゴリ:線形代数]]
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