📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
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ページの作成:「== 概要 == 二項分布は、成功か失敗のいずれかの結果しかない試行 (ベルヌーイ試行と呼ばれる) を複数回実施した場合の、成功回数の分布を表現する。<br> <br> 二項分布の表現として、確率質量関数 <math>P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}</math> を用いる。<br> ここで、nは試行回数、kは成功回数、pは1回の試行における成功確率を表す。<br> <br> この式中の…」 |
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この式中の <math>\dbinom{n}{k}</math> は組み合わせの数を表しており、n個からk個を選ぶ方法の数を示している。<br> | この式中の <math>\dbinom{n}{k}</math> は組み合わせの数を表しており、n個からk個を選ぶ方法の数を示している。<br> | ||
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二項分布は、<math>B (n, p)</math> で表す。<br> | |||
* n | |||
*: 試行回数 | |||
* p | |||
*: 1回の試行でAの起こる確率 | |||
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二項分布の実社会での例として、以下に示すようなものが挙げられる。<br> | 二項分布の実社会での例として、以下に示すようなものが挙げられる。<br> | ||
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なお、二項分布は、より一般的なポアソン分布や超幾何分布の特殊なケースとしても位置付けられる。<br> | なお、二項分布は、より一般的なポアソン分布や超幾何分布の特殊なケースとしても位置付けられる。<br> | ||
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== 二項定理 == | |||
二項定理は代数学の定理の1つであり、2つの数値や文字の和の累乗を展開する方法を示すものである。<br> | |||
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基本的な形は、<math>(a + b)^{n}</math> の展開を表し、次のような形になる。<br> | |||
<math>(a + b)^{n} = \dbinom{n}{0} a^n + \dbinom{n}{1} a^{n-1} b + \dbinom{n}{2} a^{n-2} b^{2} + \cdots + \dbinom{n}{n-1} ab^{n-1} + \dbinom{n}{n} b^{n}</math><br> | |||
したがって、<math>(a + b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^{k} b^{n-k}</math><br> | |||
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* <math>(a + b)^{2}</math> の場合 | |||
*: <math>(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}</math> | |||
* <math>(a + b)^{3}</math> の場合 | |||
*: <math>(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3}</math> | |||
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この定理の応用は広く、確率論 (二項分布の計算) や、多項式の展開、近似計算等で使用される。<br> | |||
また、パスカルの三角形と密接な関係があり、係数の計算に活用される。<br> | |||
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<math>(a + b)^{n}</math> の展開式の第 <math>r + 1</math> 項 <math>\dbinom{n}{k} a^{n-r} b^{r}</math> を <math>(a + b)^{n}</math> の展開式の一般項という。<br> | |||
また、<math>\dbinom{n}{k}</math> を二項係数という。<br> | |||
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== パスカルの三角形 == | |||
パスカルの三角形は、組み合わせの数を表現する数学的な図形であり、二項係数を簡単に求めることができる便利なツールである。<br> | |||
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三角形の各数は、その上にある2つの数の和として計算される。<br> | |||
例えば、20という数字は、その上にある10と10の和として得られる。<br> | |||
各行の数字は、二項展開の係数と一致する。<br> | |||
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[[ファイル:Statistics Binomial Distribution 1.png|中央]] | |||
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また、パスカルの三角形の性質を以下に示す。<br> | |||
* 各行は左右対称である。 | |||
* 端の数は常に1 | |||
* 2番目の斜めの数 (1, 2, 3, 4, 5, ...) は自然数の列になる。 | |||
* 各行の合計は2の冪乗 | |||
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== 期待値および分散 == | == 期待値および分散 == | ||
これらの値は、実際のデータの分布がどの程度理論値から外れているかを判断する時の基準として使用される。<br> | |||
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==== 二項分布 B(n, p) の期待値 ==== | |||
<math>\mu = np</math><br> | |||
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例題: | |||
表が出る確率 <math>p = 0.6</math> のコイン <math>n = 1000</math> 枚を投げる。 | |||
1000枚のうち、表が出る枚数の期待値μを求めよ。 | |||
解答: | |||
<math>\mu = np = 1000 \times 0.6 = 600</math> [枚] | |||
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==== 二項分布 B(n, p) の分散 ==== | |||
<math>\sigma^2 = npq = np (1 - p)</math><br> | |||
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例題: | |||
表が出る確率 <math>p = 0.6</math> のコイン <math>n = 1000</math> 枚を投げる。 | |||
1000枚のうち、表が出る枚数の標準偏差σを求めよ。 | |||
解答: | |||
<math>\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{np (1 - p)} = \sqrt{1000 \times 0.6 \times 0.4} \cong 15.5 </math> [枚] | |||
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