📢 Webサイト閉鎖と移転のお知らせ
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Z軸上の<math>(x, y) = (0, 0)</math>において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。<br> | Z軸上の<math>(x, y) = (0, 0)</math>において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。<br> | ||
原点においては、θも定まらない。<br> | 原点においては、θも定まらない。<br> | ||
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ヤコビアンにおいて、<math>dx dy dz</math> と <math>dr d \theta d \phi</math> の関係式は次式となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
J &= | |||
\begin{vmatrix} | |||
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ | |||
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ | |||
\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \\ | |||
\end{vmatrix} \\ | |||
&= | |||
\begin{vmatrix} | |||
\sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & - r \sin \theta \sin \phi \\ | |||
\sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\ | |||
\cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ | |||
\end{vmatrix} \\ | |||
&= r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \cos^2 \phi \\ | |||
&= r^2 (\sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^3 \theta \sin^2 \phi + \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^3 \theta \cos^2 \phi) \\ | |||
&= r^2 \left \{ \sin^3 \theta (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) + \sin \theta \cos^2 \theta ( \sin^2 \phi + \cos^2 \phi) \right \} \\ | |||
&= r^2 (\sin^3 \theta + \sin \theta \cos^2 \theta) \\ | |||
&= r^2 \sin \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \\ | |||
&= r^2 \sin \theta | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
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したがって、<math>dxdydz = r^2 \sin \theta \, dr d \theta d \phi</math> となる。<br> | |||
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[[カテゴリ:解析学]] | [[カテゴリ:解析学]] | ||