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「回路計算 - コンデンサ」の版間の差分

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ページの作成:「== 概要 == ここでは、コンデンサが1個の場合、直列接続の場合、並列接続の時のコンデンサの静電容量とコンデンサに蓄えられ…」
 
 
(同じ利用者による、間の5版が非表示)
57行目: 57行目:
<math>Q_1 = Q_2</math> … (4)<br>
<math>Q_1 = Q_2</math> … (4)<br>
<br>
<br>
これらをまとめて、以下のように連立方程式にする。<br>
<math>
<math>
\begin{cases}
\begin{cases}
V &= V_1 + V_2 \mbox {... (1)} \\
V &= V_1 + V_2 &\mbox{... (1)} \\
Q_1 &= C_1 V_1 \mbox {... (2)} \\
Q_1 &= C_1 V_1 &\mbox{... (2)} \\
Q_2 &= C_2 V_2 \mbox {... (3)} \\
Q_2 &= C_2 V_2 &\mbox{... (3)} \\
Q_1 &= Q_2 \mbox {... (4)}
Q_1 &= Q_2 &\mbox{... (4)}
\end{cases}
\end{cases}
</math><br>
</math><br>
<br>
<br>
(4)式を(3)式に代入して、(3)式を(2)式に代入する。<br>
(4)式を(3)式に代入して、代入した(3)式を(2)式に代入すると次式(5)となる。<br>
<math>
<math>C_1 V_1 = C_2 V_2 \mbox{... (5)}</math><br>
\begin{cases}
Q_1 &= C_1 V_1 \mbox {... (1)} \\
C_1 V_1 &= C_2 V_2 \mbox {... (2')} \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
<br>
(2')式を変形して、以下のようにする。<br>
(5)式を変形して、以下のようにする。<br>
<math>V_1 = \frac{C_2 V_2}{C_1}</math><br>
<math>V_1 = \frac{C_2}{C_1} V_2</math><br>
<br>
<br>
これを(1)式に代入すると、次式が求まる。<br>
これを(1)式に代入すると、次式が求まる。<br>
<math>V_2 = \frac{C_1}{C_1 + C_2}</math> … (5)<br>
<math>
\begin{align}
V  &= V_1 + V_2 &\mbox{... (1)}\\
    &= \frac{C_2}{C_1} V_2 + V_2 \\
    &= \frac{C_1 + C_2}{C_1} V_2 \\
V_2 &= \frac{C_1}{C_1 + C_2} V &\mbox{... (6)}
\end{align}
</math><br>
<br>
<br>
(5)式を(1)式に代入する。<br>
同様にして、V<sub>1</sub>は以下のようになる。<br>
<math>V_2 = \frac{C_2}{C_1 + C_2}</math> … (6)<br>
<math>V_1 = \frac{C_2}{C_1 + C_2} V \mbox{... (7)}</math><br>
<br>
<br>
V<sub>1</sub>とV<sub>2</sub>が求められたので、(5)式と(6)式を(2)式と(3)式に代入して、Q<sub>1</sub>とQ<sub>2</sub>を求める。<br>
V<sub>1</sub>とV<sub>2</sub>が求められたので、(6)式と(7)式をそれぞれ(2)式と(3)式に代入して、Q<sub>1</sub>とQ<sub>2</sub>を求める。<br>
<math>
<math>
\begin{cases}
\begin{cases}
112行目: 115行目:
V_1 &= V \\
V_1 &= V \\
V_2 &= V \\
V_2 &= V \\
Q_1 &= C_1 V_1 \\  
Q_1 &= C_1 V_1 = C_1 V \\  
Q_2 &= C_2 V_2
Q_2 &= C_2 V_2 = C_2 V
\end{cases}
\end{cases}
</math><br>
</math><br>
<br><br>
== 例題 ==
==== 例題 1 ====
下図のように、静電容量C<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>、C<sub>3</sub>のコンデンサが接続されている回路がある。<br>
スイッチSが開いている時、各コンデンサの電荷は全て0であった。<br>
スイッチSを閉じた時，<math>C_1 = 5 \mbox{[μF]}</math>のコンデンサには<math>3.5 \times 10^{-4} \mbox{[C]}</math>の電荷が、<math>C_2 = 2.5 \mbox{[μF]}</math>のコンデンサには<math>0.5 \times 10^{-4} \mbox{[C]}</math>の電荷が充電された。<br>
静電容量C<sub>3</sub>の値はいくらか。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Capacitor 9.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
以下に解答を示す。<br>
<br>
C<sub>1</sub>にかかる電圧V<sub>1</sub>は、<math>Q_1 = C_1 V_1</math>より、<br>
<math>
\begin{align}
3.5 \times 10^{-4} &= 5 \times 10^{-6} V_1 \\
V_1                &= 70 \mbox{[V]}
\end{align}
</math><br>
<br>
C<sub>2</sub>とC<sub>3</sub>にかかる電圧V<sub>2</sub>(C<sub>2</sub>とC<sub>3</sub>は並列接続されているので電圧V<sub>2</sub>は同じ値)は、<math>Q_2 = C_2 V_2</math>より、<br>
<math>
\begin{align}
0.5 \times 10^{-4} &= 2.5 \times 10^{-6} V_2 \\
V_2                &= 20 \mbox{[V]}
\end{align}
</math><br>
<br>
よって、電源電圧E[V]は、<math>E = V_1 + V_2 = 20 + 70 = 90 \mbox{[V]}</math>となる。<br>
<br>
C<sub>3</sub>の静電容量をx[uF]とすると、次式が成り立つ。<br>
<math>
\begin{align}
V_2          &= \frac{C_1}{C_1 + (C2 + C3)} E \\
20          &= \frac{5}{5 + (2.5 + x)} 90 \\
5 + 2.5 + x  &= \frac{9}{2} \times 5 \\
x            &= \frac{45}{2} - 7.5 \\
x            &= 15
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、C<sub>1</sub>の静電容量は15[uF]となる。<br>
<br>
==== 例題 2 ====
下図の左右のように，静電容量がそれぞれ4[μF]と2[μF]のコンデンサC<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>、スイッチS<sub>1</sub>、S<sub>2</sub>からなる回路がある。<br>
コンデンサC<sub>1</sub>とC<sub>2</sub>には，それぞれ2[μC]と4[μC]の電荷が下図のような極性で蓄えられている。<br>
<br>
この状態から両図ともスイッチS<sub>1</sub>およびS<sub>2</sub>を閉じる時、<br>
下図左のコンデンサC<sub>1</sub>の端子電圧をV<sub>1</sub>[V]、下図右のコンデンサC<sub>2</sub>の端子電圧をV<sub>2</sub>[V]とすると、電圧比<math>\left| \frac{V_1}{V_2} \right|</math>の値はいくらか。<br>
[[ファイル:CircuitCalc Capacitor 10.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
以下に解答を示す。<br>
<br>
スイッチS<sub>1</sub>およびS<sub>2</sub>を閉じた時、<br>
上図左では、合成容量<math>C_1 + C_2 = 6 \mbox{[μF]}</math>のコンデンサに合計<math>2 + 4 = 6 \mbox{[uC]}</math>の電荷が蓄えられていることになる。<br>
<math>V_1 = \frac{6 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-6}} = 1 \mbox{[V]}</math><br>
<br>
上図右では、合成容量<math>C_1 + C_2 = 6 \mbox{[uF]}</math>のコンデンサに合計<math>2 - 4 = -2 \mbox{[uC]}</math>の電荷が蓄えられていることになる。<br>
<math>V_2 = \frac{-2 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-6}} = - \frac{1}{3} \mbox{[V]}</math><br>
<br>
したがって、<math>\left| \frac{V_1}{V_2} \right| = 3</math>となる。
<br><br>
<br><br>


__FORCETOC__
__FORCETOC__
[[カテゴリ:回路計算]]
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