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== 例題 == | == 例題 == | ||
==== 例題 1 ==== | ==== 例題 1 : 電位 ==== | ||
真空中において、下図に示すように点Oを通る直線上の点Oからそれぞれr[m]離れた2点A，BにQ[C]の正の点電荷が置かれている。 | 真空中において、下図に示すように点Oを通る直線上の点Oからそれぞれr[m]離れた2点A，BにQ[C]の正の点電荷が置かれている。 | ||
この直線に垂直で、点Oからx[m]離れた点Pの電位V[V]を表す式として、正しいのは次のうちどれか。 | この直線に垂直で、点Oからx[m]離れた点Pの電位V[V]を表す式として、正しいのは次のうちどれか。 | ||
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[[ファイル:Electric field and Potential 1.png|フレームなし|中央]] | [[ファイル:Electric field and Potential 1.png|フレームなし|中央]] | ||
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==== 例題 2 : 電位 ==== | |||
真空中において、下図のように点Aに正電荷+4Q[C]、点Bに負電荷-Q[C]の点電荷が配置されている。 | |||
この2点を通る直線上で電位が0[V]となる点を点Pとする。 | |||
点Pの位置を示すものとして、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。 | |||
なお、無限遠の点は除く。 | |||
ただし、点Aと点B間の距離をl[m]とする。 | |||
また、点Aより左側の領域をa領域、点Aと点Bの間の領域をab領域、点Bより右側の領域をb領域とし、真空の誘電率をε<sub>0</sub>[F/m]とする。 | |||
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[[ファイル:Electric field and Potential 2.png|フレームなし|中央]] | |||
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* aの領域について<br> | |||
<math>V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{4Q}{x} + \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{-Q}{x + l} = 0</math> より、<br> | |||
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<math> | |||
\begin{align} | |||
\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{4Q}{x} &= \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{Q}{x + l} \\ | |||
\dfrac{4Q}{x} &= \dfrac{Q}{x + l} \\ | |||
\dfrac{4}{x} &= \dfrac{1}{x + l} \\ | |||
4 (x + l) &= x \\ | |||
4x + 4l &= x \\ | |||
3x &= -4l \\ | |||
x &= - \dfrac{4}{3} l | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
a領域では、<math>x</math> は正である必要があるため、a領域には存在しない。<br> | |||
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* ab領域について | |||
<math>V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{4Q}{x} + \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{-Q}{l - x} = 0</math> より、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{4Q}{x} &= \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{Q}{l - x} \\ | |||
\dfrac{4Q}{x} &= \dfrac{Q}{l - x} \\ | |||
\dfrac{4}{x} &= \dfrac{1}{l - x} \\ | |||
4 (l - x) &= x \\ | |||
4l - 4x &= x \\ | |||
5x &= 4l \\ | |||
x &= \dfrac{4}{5} l | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
ab領域では、<math>x</math> は正である必要があるため、<math>\dfrac{4}{5} l</math> となる。<br> | |||
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* b領域について | |||
<math>V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{4Q}{l + x} + \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{-Q}{x} = 0</math> より、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{4Q}{l + x} &= \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{Q}{x} \\ | |||
\dfrac{4Q}{l + x} &= \dfrac{Q}{x} \\ | |||
\dfrac{4}{l + x} &= \dfrac{1}{x} \\ | |||
4x &= l + x \\ | |||
3x &= l \\ | |||
x &= \dfrac{1}{3} l | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
b領域では、<math>x</math> は正である必要があるため、<math>\dfrac{1}{3} l</math> となる。<br> | |||
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==== 例題 3 : 電位 ==== | |||
真空中において、下図のようにx軸上で、距離3d[m]隔てた点Ａ(2d，0)、点Ｂ(-d，0)にそれぞれ2Q[C]，-Q[C]の点電荷が置かれている。 | |||
xy平面上で、電位が0[V]となる等電位線を表す図として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから1つ選べ。 | |||
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[[ファイル:Electric field and Potential 3.png|フレームなし|中央]] | |||
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任意の点Pと点Aおよび点Bまでの距離は、下図のようになる。<br> | |||
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[[ファイル:Electric field and Potential 4.png|フレームなし|中央]] | |||
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点電荷Q[C]のr[m]離れた地点における電位V[V]は、<math>\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{r}</math> で表すことができる。<br> | |||
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任意の点P(x，y)の電位をV<sub>P</sub>[V]とする時、V<sub>P</sub>[V]は点Aによる点Pの電位V<sub>PA</sub>[V]と、点Bによる点Pの電位V<sub>PB</sub>[V]のスカラ和となる。<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
V_P &= V_{PA} + V_{PB} \\ | |||
&= \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{Q}{r} + \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{-Q}{BP} \\ | |||
&= \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \dfrac{2}{\sqrt{(2d - x)^2 + y^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{(d + x)^2 + y^2}} \right) | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
<math>V_P = 0 \mbox{[V]}</math> となるには、<br> | |||
<math>\dfrac{2}{\sqrt{(2d - x)^2 + y^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{(d + x)^2 + y^2}} = 0</math> の時である。<br> | |||
<br> | |||
したがって、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\dfrac{4}{(2d - x)^2 + y^2} - \dfrac{1}{(d + x)^2 + y^2} &= 0 \\ | |||
(2d - x)^2 + y^2 - 4((d + x)^2 + y^2) &= 0 \\ | |||
4d^2 - 4dx + x^2 + y^2 - 4y^2 -4(d + x)^2 &= 0 \\ | |||
4d^2 - 4dx + x^2 + y^2 - 4y^2 - 4x^2 - 8dx -4d^2 &= 0 \\ | |||
-3x^2 - 3y^2 - 12dx &= 0 \\ | |||
x^2 + y^2 + 4dx &= 0 \\ | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
<br> | |||
上式より、<br> | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
(x + 2d)^2 - 4d^2 + y^2 + 4dx &= 0 \\ | |||
(x + 2d)^2 + y^2 &= (2d)^2 | |||
\end{align} | |||
</math><br> | |||
と変形できる。<br> | |||
<br> | |||
この式は、中心 <math>(-2d, 0)</math> で半径が <math>2d</math> の円の方程式である。<br> | |||
<br><br> | <br><br> | ||