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== 概要 == | == 概要 == | ||
* ラプラス逆変換 | |||
*: <math>F(s)</math> に対し、 <math>\mathcal{L}[f(t)] = F(s)</math> となる <math>f(t)</math> が存在するとき、<math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} [F(s)]</math> をラプラス逆変換という。 | |||
*: <math>F(s)</math> に対し、<math>\mathcal{L}[f(t)] = F(s)</math> となる <math>f(t)</math> は無数に存在する。 | |||
*: <br> | |||
*: ラプラス逆変換はブロムウィチ積分で表すことができる。 | |||
*: 実際にラプラス逆変換を求めるためには、変換公式を使用する。 | |||
*: <br> | |||
* 部分分数展開 | |||
*: ラプラス逆変換を行う際に、像関数に対して部分分数展開を適用する場合がある。 | |||
*: その際には、いくつかの部分分数展開の公式を使用する。 | |||
*: 公式中の対応する係数を求めるために、留数を求める方法と同様の方法を使用する。 | |||
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説明: | 説明: | ||
ラプラス変換は全単射ではないので、通常の関数の逆関数と同じようにラプラス逆変換を定義できるわけではない。 | ラプラス変換は全単射ではないので、通常の関数の逆関数と同じようにラプラス逆変換を定義できるわけではない。 | ||
<br> | <br><br> | ||
== ラプラス逆変換の定義の考え方 == | == ラプラス逆変換の定義の考え方 == | ||
<math>F(s)</math> に対し、<math>\mathcal{L}[f(t)] = F(s)</math> となる <math>f(t)</math> が存在する場合、それらは無数に存在して1つに決まらない。<br> | <math>F(s)</math> に対し、<math>\mathcal{L}[f(t)] = F(s)</math> となる <math>f(t)</math> が存在する場合、それらは無数に存在して1つに決まらない。<br> | ||
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<math>f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int^{p + i \infty}_{p - i \infty} {e^{st} F(s) ds}</math> | <math>f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int^{p + i \infty}_{p - i \infty} {e^{st} F(s) ds}</math> | ||
ここで、<math>s = p + i \alpha \quad (p, \, \alpha : \mbox{ 実 数 }, \, \, i : \mbox{ 虚 数 単 位 })</math> とする。 | ここで、<math>s = p + i \alpha \quad (p, \, \alpha : \mbox{ 実 数 } \, , \, \, i : \mbox{ 虚 数 単 位 } \, )</math> とする。 | ||
説明: | 説明: | ||
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<math>f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int^{p + i \infty}_{p - i \infty} {e^{st} F(s) \, ds}</math> | <math>f(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int^{p + i \infty}_{p - i \infty} {e^{st} F(s) \, ds}</math> | ||
<math> \qquad s = p + i \alpha \quad (p, \, \alpha : \mbox{ 実 数 }, \, \, i : \mbox{ 虚 数 単 位 })</math><br> | <math> \qquad s = p + i \alpha \quad (p, \, \alpha : \mbox{ 実 数 } \, , \, \, i : \mbox{ 虚 数 単 位 } \,)</math><br> | ||
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下図に、ブロムウィチ積分の積分経路を示す。<br> | 下図に、ブロムウィチ積分の積分経路を示す。<br> | ||
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| <math>e^{at}</math> || <math>\frac{1}{s - a}</math> || <math>s > \alpha</math> | | <math>e^{at}</math> || <math>\frac{1}{s - a}</math> || <math>s > \alpha</math> | ||
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| <math>\sin{at}</math> || <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 | | <math>\sin{at}</math> || <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数 } \, \,</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>\cos{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 + a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 | | <math>\cos{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 + a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数 } \, \,</math> | ||
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| <math>\sinh{at}</math> || <math>\frac{a}{s^2 - a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 | | <math>\sinh{at}</math> || <math>\frac{a}{s^2 - a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数 } \, \,</math> | ||
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| <math>\cosh{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 | | <math>\cosh{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> || <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実 定 数 } \, \,</math> | ||
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| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> || <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> || <math>s > 0, \quad a > 0</math> | | 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> || <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> || <math>s > 0, \quad a > 0</math> | ||
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| 積分法則<br><math>\int^{t}_{0} {f(u) \, du}</math> || <math>\frac{F(s)}{s}</math> || | | 積分法則<br><math>\int^{t}_{0} {f(u) \, du}</math> || <math>\frac{F(s)}{s}</math> || | ||
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| <math>t^{n}</math> 積法則<br><math>t^{n} f(t)</math> || <math>(-1)^{n} \, \frac{dF^{n} (s)}{ds}</math> || <math>n : \mbox{ 正 整 数 }</math> | | <math>t^{n}</math> 積法則<br><math>t^{n} f(t)</math> || <math>(-1)^{n} \, \frac{dF^{n} (s)}{ds^{n}}</math> || <math>n : \mbox{ 正 整 数 } \, \,</math> | ||
|- | |- | ||
| 合成積<br><math>(f * g)(t)</math> || <math>F(s) \, G(s)</math> || | | 合成積<br><math>(f * g)(t)</math> || <math>F(s) \, G(s)</math> || | ||
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複雑な関数のラプラス逆変換を行う際、部分分数展開を使用するとうまくいく場合がある。<br> | 複雑な関数のラプラス逆変換を行う際、部分分数展開を使用するとうまくいく場合がある。<br> | ||
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以下の公式における係数A、B、C、D、Eは定数とする時、A、B、C、D、Eをそれぞれ計算して求める。<br> | |||
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* 公式 1 | * 公式 1 | ||
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*: <br> | *: <br> | ||
* 公式 6<br>分母 = 0が多重根をもち、さらにsの2次式の項も存在する場合<br><math>P(s)</math> は <math>s</math> の4次以下の式とする。 | * 公式 6<br>分母 = 0が多重根をもち、さらにsの2次式の項も存在する場合<br><math>P(s)</math> は <math>s</math> の4次以下の式とする。 | ||
*: <math>P(s) | *: <math>\frac{P(s)}{(s - a)^{3} (s^{2} + bs + c)} = \frac{A}{s - a} + \frac{B}{(s - a)^{2}} + \frac{C}{(s - a)^{3}} + \frac{Ds + E}{s^{2} + bs + c}</math> | ||
<br> | |||
例題 1: | |||
部分分数展開とラプラス逆変換公式を使用することにより、以下のラプラス逆変換の値を求めよ。 | |||
<math>\mathcal{L}^{-1} \bigg[ \frac{s}{s^{2} - 4s + 3} \bigg]</math> | |||
解答: | |||
まず、<math>\frac{s}{s^{2} - 4s + 3}</math> を部分分数展開する。 | |||
<math>\frac{s}{s^{2} - 4s + 3} = \frac{s}{(s - 1)(s - 3)}</math> | |||
<math>\frac{s}{(s - 1)(s - 3)} = \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{s - 1} \quad \cdots (1)</math> とおいて、A, Bを求める。 | |||
Aを求める。 | |||
(1)式の両辺に <math>(s - 3)</math> を乗算すると、次式になる。 | |||
<math>\frac{s}{s - 1} = A + \frac{B (s - 3)}{s - 1}</math> | |||
ここで、<math>s = 3</math> を代入すると、<math>A = \frac{3}{2}</math> が得られる。 | |||
Bを求める。 | |||
(1)式の両辺に <math>(s - 1)</math> を乗算して得られた式に <math>s = 1</math> を代入すると、<math>B = - \frac{1}{2}</math> が得られる。 | |||
したがって、部分分数展開の結果は次式になる。 | |||
<math>\frac{s}{s^{2} - 4s + 3} = \frac{3}{2} \frac{1}{s - 3} + - \frac{1}{2} \frac{1}{s - 1} \quad \cdots (2)</math> | |||
次に、部分分数展開の結果(2)式からラプラス逆変換の値を求める。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s}{s^{2} - 4s + 3} \right] &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3}{2} \frac{1}{s - 3} - \frac{1}{2} \frac{1}{s - 1} \right] \qquad \mbox{ 上 式 (2) }\\ | |||
&= \frac{3}{2} \, \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s - 3} \right] - \frac{1}{2} \, \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s - 1} \right] \qquad \because \mbox{ 線 形 法 則 } \\ | |||
&= \frac{3}{2} e^{3t} - \frac{1}{2} e^{t} \qquad \because \mbox{ 変 換 公 式 } \\ | |||
&= \frac{3 e^{3t}}{2} - \frac{e^{t}}{2} | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<br> | |||
例題 2: | |||
ラプラス変換を用いて、以下の初期値問題を求めよ。 | |||
<math> | |||
\begin{cases} | |||
\dfrac{df(t)}{dt} + f(t) &= t \quad \cdots (1) \\ | |||
f(0) &= 0 \quad \cdots (2) | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
解答: | |||
(1)式の両辺をラプラス変換する。 | |||
<math>\mathcal{L} \bigg[ \dfrac{df(t)}{dt} \bigg] \mathcal{L} \bigg[ f(t) \bigg] = \mathcal{L} \bigg[ t \bigg]</math> | |||
ここで、<math>\mathcal{L} \bigg[ f(t) \bigg] = F(s)</math> とおいて、微分法則を適用して計算する。 | |||
<math>{sF(s) - 0} + F(s) = \dfrac{1}{s^2}</math> | |||
<math>\iff F(s) = \dfrac{1}{s^2}</math> | |||
<math>\iff F(s) = \dfrac{1}{s^{2}(s + 1)} \quad \cdots (3)</math> | |||
(3)式の右辺を部分分数展開する。 | |||
<math>\dfrac{1}{s^{2} (s + 1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s^2} + \dfrac{C}{(s + 1)}</math> とおいて、A、B、Cを求める。 | |||
両辺に <math>s^{2} (s + 1)</math> を乗算して、分子の各係数を比較する。 | |||
<math>1 = As(s + 1) + B(s + 1) + Cs^{2} = (A + C)s^{2} + (A + B)s + B \quad (4)</math> | |||
(4)式の右辺の各係数を比較すると、 | |||
<math> | |||
\begin{cases} | |||
A + C &= 0 \\ | |||
A + B &= 0 \\ | |||
B &= 1 | |||
\end{cases} | |||
</math> | |||
より、 | |||
<math>A = -1, \, \, B = 1, \, \, C = 1</math> が得られる。 | |||
したがって、以下が得られる。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
F(s) &= \dfrac{1}{s^2 (s + 1)} \\ | |||
& = - \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s^2} + \dfrac{1}{s + 1} \quad \cdots (5) | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
(5)式の両辺をラプラス逆変換して、<math>f(t) = \mathcal{L}^{-1} \bigg[ Y(s) \bigg]</math> を求める。 | |||
<math> | |||
\begin{align} | |||
\mathcal{L}^{-1} \bigg[ F(s) \bigg] &= \mathcal{L}^{-1} \bigg[ - \dfrac{1}{s} \bigg] + \mathcal{L}^{-1} \bigg[ \dfrac{1}{s^2} \bigg] + \mathcal{L}^{-1} \bigg[ \dfrac{1}{s + 1} \bigg] \\ | |||
&= -1 + t + e^{-t} | |||
\end{align} | |||
</math> | |||
<br><br> | <br><br> | ||