C Sharpと数値解析 - オイラー法 - 版の履歴

Wiki: /* 後退差分法 (ニュートン法を使用しない方法) */

2025-01-22T05:45:15Z

後退差分法 (ニュートン法を使用しない方法)

← 古い版		2025年1月22日 (水) 14:45時点における版
223行目:		223行目:
	<math>\dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{f(x) - f(x - h)}{h}</math> に基づいている。<br>		<math>\dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{f(x) - f(x - h)}{h}</math> に基づいている。<br>
	<br>		<br>
	~~現在の値を使用して次のステップを1回で計算する。~~<br>		<math>\dfrac{dy}{dx_i} = f(x_i, y_i)</math> より、<br>
			<math>f(x_i, y_i) \approx \dfrac{y_i - y_{i-1}}{h} \qquad (1)</math><br>
			<br>
			上記の(1)式を変形して、<math>y_{i+1} = y_i + h f(x_{i+1}, y_{i+1})</math> となる。<br>
			<br>
			後退差分法の式では、左辺と右辺の両方に <math>y_{i+1}</math> が含まれているため、今求まっている <math>f(x, y)</math> から単純な計算でを求めることはできない。<br>
			ただし、<math>f(x, y)</math> に具体的な関数を代入することにより、上記の方程式を代数的あるいは数値的に解くことで <math>y_{i+1}</math> を求めることできる。<br>
			<br>
			例えば、<math>f(x, y) = x + y</math> の場合の後退差分法の式は <math>y_{i+1} = \frac{y_i + h (x_{i} + h)}{(1 - h)}</math> となるため、<br>
			現在の <math>y_i, x_i</math> のみから計算可能である。<br>
			<br>
			後退差分法では、現在の値を使用して次のステップを1回で計算する。<br>
	ニュートン法を用いない後退差分法は、計算が単純で高速となり、メモリ使用量が少ない。<br>		ニュートン法を用いない後退差分法は、計算が単純で高速となり、メモリ使用量が少ない。<br>
	ただし、ニュートン法を用いる後退差分法と比較して、精度は低く安定性も劣る。<br>		ただし、ニュートン法を用いる後退差分法と比較して、精度は低く安定性も劣る。<br>

Wiki: /* 前進差分法 */

2025-01-22T05:35:55Z

前進差分法

← 古い版		2025年1月22日 (水) 14:35時点における版
20行目:		20行目:
	<br>		<br>
	これは、<math>\dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> に基づいている。<br>		これは、<math>\dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> に基づいている。<br>
			<br>
			<math>\dfrac{dy}{dx_i} = f(x_i, y_i)</math> より、<br>
			<math>f(x_i, y_i) \approx \dfrac{y_{i+1} - y_i}{h} \qquad (1)</math><br>
			<br>
			上記の(1)式を変形して、<math>y_{i+1} = y_i + h f(x_i, y_i)</math> となる。<br>
	<br>		<br>
	<syntaxhighlight lang="c#">		<syntaxhighlight lang="c#">

Wiki: /* 概要 */

2025-01-22T05:22:37Z

概要

@@ 1行目: / 1行目: @@
 == 概要 ==
+オイラー法は、常微分方程式の数値解法における最も基本的な手法の1つである。<br>
 <br><br>

Wiki: /* 前進差分法 */

2025-01-22T05:16:17Z

前進差分法

差分を表示

Wiki: /* 中心差分法 */

2025-01-22T04:06:41Z

中心差分法

← 古い版		2025年1月22日 (水) 13:06時点における版
285行目:		285行目:
	x = x + h;		x = x + h;

	y_prev = y; // 現在の値を前の値として保存		y_prev = y; // 現在の値を前の値として保存
	y = y_next; // 次の値を現在の値に更新		y = y_next; // 次の値を現在の値に更新

			// 数値の右寄せ表示 (,12:F6)
	Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");		Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");
	}		}

Wiki: /* 中心差分法 */

2025-01-22T04:06:12Z

中心差分法

← 古い版		2025年1月22日 (水) 13:06時点における版
242行目:		242行目:

	== 中心差分法 ==		== 中心差分法 ==
			中心差分法 (Central Euler Method) は、前後の点を使用して中心での傾きを計算する。<br>
			<br>
			<math>\dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}</math> に基づいている。<br>
			<br>
			2次の精度を持ち、前進差分法より精度が高いが、初期ステップの処理が必要となる。<br>
			<br>
	<syntaxhighlight lang="c#">		<syntaxhighlight lang="c#">
	using System;		using System;

Wiki: r

2025-01-22T04:03:53Z

差分を表示

Wiki: /* 前進差分法 */

2025-01-22T03:45:51Z

前進差分法

← 古い版		2025年1月22日 (水) 12:45時点における版
4行目:		4行目:

	== 前進差分法 ==		== 前進差分法 ==
			前進差分法 (Forward Euler Method) は、精度は1次であるが、最も簡単な実装であり、現在の点での傾きを用いて次の点を予測する。<br>
			<br>
			これは、<math>\dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> に基づいている。<br>
			<br>
	<syntaxhighlight lang="c#">		<syntaxhighlight lang="c#">
	using System;		using System;
34行目:		38行目:
	x = x + h;		x = x + h;

			// 数値の右寄せ表示 (,12:F6)
	Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");		Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");
	}		}

Wiki: ページの作成:「== 概要 ==

== 前進差分法 == using System; class ForwardEuler { // 微分方程式を表す関数の定義 // 引数: (x, y), 戻り値: dy/dx private readonly Func _differentialEquation; public ForwardEuler(Func differentialEquation) { _differentialEquation = differentialEquation; } public void Solve(double x0, double y0, double…」

2025-01-22T03:41:08Z

ページの作成:「== 概要 == == 前進差分法 == <syntaxhighlight lang="c#"> using System; class ForwardEuler { // 微分方程式を表す関数の定義 // 引数: (x, y), 戻り値: dy/dx private readonly Func<double, double, double> _differentialEquation; public ForwardEuler(Func<double, double, double> differentialEquation) { _differentialEquation = differentialEquation; } public void Solve(double x0, double y0, double…」

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== 概要 ==

 

== 前進差分法 ==
<syntaxhighlight lang="c#">
using System;

class ForwardEuler
{
// 微分方程式を表す関数の定義
// 引数: (x, y), 戻り値: dy/dx
private readonly Func<double, double, double> _differentialEquation;

public ForwardEuler(Func<double, double, double> differentialEquation)
{
_differentialEquation = differentialEquation;
}

public void Solve(double x0, double y0, double h, double xn)
{
double x = x0; // 初期x値
double y = y0; // 初期y値

Console.WriteLine("前進差分法による計算結果 : ");
Console.WriteLine($"{"x",12}{"y",12}");
Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");

// xがxnに達するまで計算を繰り返す
while (x < xn)
{
// 前進差分公式 : y(n + 1) = yn + h * f(xn, yn)
y = y + h * _differentialEquation(x, y);
x = x + h;

Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");
}
}
}
</syntaxhighlight>
 
<syntaxhighlight lang="c#">
// 使用例

// 微分方程式 dy/dx = x + y を定義
Func<double, double, double> equation = (x, y) => x + y;

// パラメータの設定
double x0 = 0.0; // 解析開始するxの初期値
double y0 = 1.0; // 解析開始するyの初期値
double h = 0.01; // 刻み幅
double xn = 1.0; // xnまで計算

// オイラー法 (前進差分法) による計算
var solver = new ForwardEuler(equation);
solver.Solve(x0, y0, h, xn);
</syntaxhighlight>
 

== 後退差分法 ==
<syntaxhighlight lang="c#">
using System;

class BackwardEuler
{
// 微分方程式を表す関数の定義
// 引数 : (x, y), 戻り値 : dy/dx
private readonly Func<double, double, double> _differentialEquation;

public BackwardEuler(Func<double, double, double> differentialEquation)
{
_differentialEquation = differentialEquation;
}

public void Solve(double x0, double y0, double h, double xn)
{
double x = x0; // 初期x値
double y = y0; // 初期y値

Console.WriteLine("後退差分法による計算結果 : ");
Console.WriteLine($"{"x",12}{"y",12}");
Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");

// xがxnに達するまで計算を繰り返す
while (x < xn)
{
x = x + h; // x値を更新

// 後退差分公式: y(n+1) = yn + h * f(x(n+1), yn)
y = y + h * _differentialEquation(x, y);

Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");
}
}
}
</syntaxhighlight>
 
<syntaxhighlight lang="c#">
// 使用例

// 微分方程式 dy/dx = x + y を定義
Func<double, double, double> equation = (x, y) => x + y;

// パラメータの設定
double x0 = 0.0; // 解析開始するxの初期値
double y0 = 1.0; // 解析開始するyの初期値
double h = 0.01; // 刻み幅
double xn = 1.0; // xnまで計算

// オイラー法 (後退差分法) による計算
var solver = new BackwardEuler(equation);
solver.Solve(x0, y0, h, xn);
</syntaxhighlight>
 

== 中心差分法 ==
<syntaxhighlight lang="c#">
using System;

class CentralEuler
{
// 微分方程式を表す関数の定義
// 引数 : (x, y), 戻り値 : dy/dx
private readonly Func<double, double, double> _differentialEquation;

public CentralEuler(Func<double, double, double> differentialEquation)
{
_differentialEquation = differentialEquation;
}

public void Solve(double x0, double y0, double h, double xn)
{
double x = x0; // 初期x値
double y = y0; // 初期y値
double y_prev = y0; // 前のステップのy値
double y_next; // 次のステップのy値

Console.WriteLine("中心差分法による計算結果 :");
Console.WriteLine($"{"x",12}{"y",12}");
Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");

// 最初のステップは前進差分で計算
y = y + h * _differentialEquation(x, y);
x = x + h;
Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");

// xがxnに達するまで計算を繰り返す
while (x < xn)
{
// 中心差分公式 : y(n + 1) = y(n - 1) + 2h * f(xn, yn)
y_next = y_prev + 2 * h * _differentialEquation(x, y);
x = x + h;

y_prev = y; // 現在の値を前の値として保存
y = y_next; // 次の値を現在の値に更新

Console.WriteLine($"{x,12:F6}{y,12:F6}");
}
}
}
</syntaxhighlight>
 
<syntaxhighlight lang="c#">
// 使用例

// 微分方程式 dy/dx = x + y を定義
Func<double, double, double> equation = (x, y) => x + y;

// パラメータの設定
double x0 = 0.0; // 解析開始するxの初期値
double y0 = 1.0; // 解析開始するyの初期値
double h = 0.01; // 刻み幅
double xn = 1.0; // xnまで計算

// オイラー法 (中心差分法) による計算
var solver = new CentralEuler(equation);
solver.Solve(x0, y0, h, xn);
</syntaxhighlight>
 

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