線積分 - 版の履歴

Wiki: /* 例題. 1 */

2023-05-26T09:19:58Z

例題. 1

@@ 85行目: / 85行目: @@
 <math>\nabla \times \overrightarrow{F} = \overrightarrow{0}</math>(渦なし)の時、線積分は経路によらず始点と終点で決まる。<br>
 <br>
-上記の例では、<math>\frac{\partial}{\partial x} (x - y) - \frac{\partial}{\partial y} (2x + y) = 1 - 1 = 0</math>となり、渦なしの条件を満たしているため、<br>
+上記の例では、
 .および2.の2通りの線積分において、同様の計算結果となる。<br>
 <br><br>

Wiki: /* 例題. 1 */

2023-05-26T09:00:57Z

例題. 1

← 古い版		2023年5月26日 (金) 18:00時点における版
59行目:		59行目:
	<math>\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy = \int_C (2x + y) dx + \int_C (x - y) dy</math>である。<br>		<math>\int_C (2x + y) dx + (x - y) dy = \int_C (2x + y) dx + \int_C (x - y) dy</math>である。<br>
	<br>		<br>
	1.では、<math>y = x</math>のため、第2項は<math>(x - y) = (x - x) = 0</math>となる。<br>		1.では、<math>\frac{dy}{dx} = 1 \quad \mbox{より } \quad dy = dx</math> となるが、 <math>y = x</math>のため、第2項は<math>(x - y) = (x - x) = 0</math>となる。<br>
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}

Wiki: /* 例題. 2 */

2022-01-19T05:25:06Z

例題. 2

差分を表示

Wiki: /* 計算の基礎 */

2022-01-19T03:53:58Z

計算の基礎

← 古い版		2022年1月19日 (水) 12:53時点における版
122行目:		122行目:
	曲線経路Cをsのパラメータ(媒介変数)として、<math>\overrightarrow{r}(s) = x(s) \overrightarrow{i} + y(s)\overrightarrow{j} + z(s)\overrightarrow{k}</math>と表すと、<br>		曲線経路Cをsのパラメータ(媒介変数)として、<math>\overrightarrow{r}(s) = x(s) \overrightarrow{i} + y(s)\overrightarrow{j} + z(s)\overrightarrow{k}</math>と表すと、<br>
	単位接線ベクトル<math>\overrightarrow{t}</math>は、<math>\overrightarrow{t} = \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}</math>となる。<br>		単位接線ベクトル<math>\overrightarrow{t}</math>は、<math>\overrightarrow{t} = \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}</math>となる。<br>
			ただし、<math>d \overrightarrow{r}</math>は、曲線経路Cを細かく分割した微小ベクトルであり、線素ベクトルと呼ばれる。<br>
	<br>		<br>
	したがって、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の線積分は、以下のようにも記述できる。<br>		したがって、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の線積分は、以下のようにも記述できる。<br>
133行目:		134行目:
	記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。<br>		記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。<br>
	<br>		<br>

	==== 例題.1 ====		==== 例題.1 ====
	ベクトル関数<math>\overrightarrow{F}(x,y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>について、経路Cにおける以下の線積分を求めよ。<br>		ベクトル関数<math>\overrightarrow{F}(x,y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>について、経路Cにおける以下の線積分を求めよ。<br>

Wiki: /* 計算の基礎 */

2022-01-19T03:47:12Z

計算の基礎

← 古い版		2022年1月19日 (水) 12:47時点における版
31行目:		31行目:
	<math>\Delta l=\sqrt{(x(t+ \Delta t)-x(t))^2+(y(t+ \Delta t)-y(t))^2}</math><br>		<math>\Delta l=\sqrt{(x(t+ \Delta t)-x(t))^2+(y(t+ \Delta t)-y(t))^2}</math><br>
	<br>		<br>
	~~また、ほぼ直線的に変化しているので、x~~(t+Δt)−x(t)は~~<math>~~\frac{dx}{dt}\Delta t~~</math>、y~~(t+Δt)−y(t)は~~<math>~~\frac{dy}{dt}\Delta t</math>と近似できる。<br>		また、ほぼ直線的に変化しているので、<math>x(t + \Delta t) - x(t) \mbox{は } \frac{dx}{dt}\Delta t, \quad y(t + \Delta t) - y(t) \mbox{は } \frac{dy}{dt}\Delta t</math>と近似できる。<br>
	<math>\Delta l=\sqrt{(\frac{dx}{dt}\Delta t)^2+(\frac{dy}{dt}\Delta t)^2}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\Delta t</math><br>		<math>
			\begin{align}
			\Delta l &= \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt}\Delta t \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt}\Delta t \right )^2} \\
			&= \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} \Delta t
			\end{align}
			</math><br>
	<br>		<br>
	ここで、Δtが無限に小さいと考えれば、次式のようになる。<br>		ここで、Δtが無限に小さいと考えれば、次式のようになる。<br>
	<math>dl=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt</math><br>		<math>dl = \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} dt</math><br>
	<br>		<br>
	~~このdlが微小時間dtに点がコース上を進む微小距離である。~~<br>		dlが微小時間dtに点がコース上を進む微小距離である。(dtとは、1変数の関数f(x)を積分するときのdxに相当する部分である)<br>
	x(t)とy(t)が具体的に分かっていれば、tのみの関数として表される。~~(1変数の関数f(x)を積分するときのdxに相当する部分である)~~<br>		x(t)とy(t)が具体的に分かっていれば、tのみの関数として表される。<br>
	~~この地点でのh~~(x,y)~~の値は、tの時とt~~+~~dtの時とでほとんど同じ値なので、h~~(x(t),y(t))を使用する。<br>		この地点での<math>h(x, y)</math>の値は、tの時と<math>t + dt</math>の時とでほとんど同じ値なので、<math>h(x(t), y(t))</math>を使用する。<br>
	<br>		<br>
	次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br>		次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br>
	<math>\int_{a}^{b}h(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\, dt</math><br>		<math>\int_{a}^{b} h(x(t), y(t))\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dt} \right )^2} dt</math><br>
	<br>		<br>

	==== 例題. 1 ====		==== 例題. 1 ====
	経路Cが以下のC<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>のそれぞれの場合、以下の線積分の値を求めよ。		経路Cが以下のC<sub>1</sub>、C<sub>2</sub>のそれぞれの場合、以下の線積分の値を求めよ。

Wiki: /* ベクトル場の線積分の計算 */

2022-01-17T13:40:29Z

ベクトル場の線積分の計算

← 古い版		2022年1月17日 (月) 22:40時点における版
105行目:		105行目:
	この曲線上で、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の接線方向成分の大きさを表すスカラー関数<math>F_t(s)</math>を考える。(sはAからの孤の長さである)<br>		この曲線上で、ベクトル<math>\overrightarrow{F}</math>の接線方向成分の大きさを表すスカラー関数<math>F_t(s)</math>を考える。(sはAからの孤の長さである)<br>
	<u>※接線はタンジェントラインと呼ぶため、接線方向成分の意味でtを添字にしている。</u><br>		<u>※接線はタンジェントラインと呼ぶため、接線方向成分の意味でtを添字にしている。</u><br>
			[[ファイル:Line Integral 2.png\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	<math>F_t(s)</math>の線積分は、次式となる。<br>		<math>F_t(s)</math>の線積分は、次式となる。<br>

Wiki: /* 例題.1 */

2022-01-17T09:43:57Z

例題.1

← 古い版		2022年1月17日 (月) 18:43時点における版
156行目:		156行目:
	<br>		<br>
	上記のポイントを踏まえて、線積分を計算する。<br>		上記のポイントを踏まえて、線積分を計算する。<br>
			ここで、ドット(⋅)は内積を表している。<br>
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
162行目:		163行目:
	\end{align}		\end{align}
	</math><br>		</math><br>
	~~ドット(⋅)は内積を表している。<br>~~
	ここで、<math>\overrightarrow{F}(x, y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>を成分表示すると、<math>\begin{pmatrix} -3x^2 \\ 5xy \end{pmatrix}</math>である。<br>		ここで、<math>\overrightarrow{F}(x, y) = -3x^2 \overrightarrow{i} + 5xy \overrightarrow{j}</math>を成分表示すると、<math>\begin{pmatrix} -3x^2 \\ 5xy \end{pmatrix}</math>である。<br>
	同様に、 <math>dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}</math>の成分表示は、<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}</math>である。<br>		同様に、 <math>dx \overrightarrow{i} + dy \overrightarrow{j}</math>の成分表示は、<math>\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4t \end{pmatrix} dt</math>である。<br>
	<br>		<br>
	次に、xとyをパラメータt(ここでは、<math>x = t, \ y = 4t dt</math>を代入する)~~で記述する。これが、経路Cを満たすように式変形するということである。~~<br>		次に、xとyをパラメータt(ここでは、<math>x = t, \quad y = 4t^2, \quad dx = dt, \quad dy = 4t dt</math>を代入する)で記述する。<br>
			これが、経路Cを満たすように式変形するということである。<br>
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
178行目:		179行目:
	</math><br>		</math><br>
	<br>		<br>

	==== 例題. 2 ====		==== 例題. 2 ====
	ベクトル場<math>\overrightarrow{F} = a(\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j})</math>(aは正の定数)において、		ベクトル場<math>\overrightarrow{F} = a(\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j})</math>(aは正の定数)において、

Wiki: /* 線積分の計算方法 */

2022-01-17T09:35:13Z

線積分の計算方法

@@ 16行目: / 16行目: @@
 <br><br>
-== 線積分の計算方法 ==
+== スカラー場の線積分の計算方法 ==
 xy平面上を走る曲線レールを細かく分割すると、その1つ1つはほぼ直線だとみなせる。<br>
 その微小な長さと、その近くでのh(x,y)の値とを掛け合わせたものを考えれば、それは衝立を微小な短冊状に切ったものの面積を表すことになる。<br>
@@ 42行目: / 43行目: @@
 次のようにすれば、線積分の計算ができる。<br>
 <math>\int_{a}^{b}h(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\, dt</math><br>
 <br><br>

Wiki: /* ベクトル場の線積分の計算 */

2022-01-17T09:01:46Z

ベクトル場の線積分の計算

@@ 61行目: / 61行目: @@
 == ベクトル場の線積分の計算 ==
 <math>\overrightarrow{F} = F_1(x,y,z) \overrightarrow{i} + F_2(x,y,z) \overrightarrow{j} + F_3(x,y,z) \overrightarrow{k}</math>のベクトル空間内の2点AからBを結ぶ曲線経路Cがある。<br>
 <br>
@@ 85行目: / 86行目: @@
 <br>
 記述方法が複数あるが、重要なことは、曲線経路Cにおいてベクトル場の接線成分を積分するということである。<br>
 <br><br>

Wiki: /* 3次元の線積分 */

2022-01-17T07:34:06Z

3次元の線積分

@@ 58行目: / 58行目: @@
 考え方は上記と同様で、次のようにする。<br>
 <math>\int_{a}^{b}U(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+\frac{dz}{dt}^2}\, dt</math><br>
 <br><br>

Wiki: /* 概要 */

2020-04-08T05:29:05Z

概要

← 古い版		2020年4月8日 (水) 14:29時点における版
13行目:		13行目:
	この衝立の高さはその地点でのh(x,y)を意味している。<br>		この衝立の高さはその地点でのh(x,y)を意味している。<br>
	線積分で計算したいのはこの衝立の面積である。<br>		線積分で計算したいのはこの衝立の面積である。<br>
			[[ファイル:Line Integral.jpg\|フレームなし\|中央]]
	<br><br>		<br><br>

Wiki: ページの作成:「== 概要 == 高校で学習する積分では、積分範囲が数直線の上に乗っていた。
つまり、1変数の関数f(x)があって、そのf(x)のグ…」

2020-03-25T06:21:00Z

ページの作成:「== 概要 == 高校で学習する積分では、積分範囲が数直線の上に乗っていた。 つまり、1変数の関数f(x)があって、そのf(x)のグ…」

新規ページ

== 概要 ==
高校で学習する積分では、積分範囲が数直線の上に乗っていた。 
つまり、1変数の関数f(x)があって、そのf(x)のグラフの曲線とx軸とに挟まれた領域の面積を求めるというのが高校で学習する積分である。 
 
2変数関数h(x,y)を考える。 
この関数は土地の起伏を表しているようなイメージである。地図上の位置を(x,y)で指定すると、h(x,y)がその地点の標高を返すと考えれば理解しやすい。 
この関数h(x,y)を積分する。積分範囲は、このxy平面の上を走る自由な曲線コースとする。 
自由な曲線コースの上を進みながら積分する、これが線積分である。 
もちろん、それを計算するためには、その曲線を具体的に指定しなければならない。 
 
まずは、イメージを説明する。 
積分コースに沿ってうねるように立てられた衝立(ついたて)のようなものを考える。 
この衝立の高さはその地点でのh(x,y)を意味している。 
線積分で計算したいのはこの衝立の面積である。 
 

== 線積分の計算方法 ==
xy平面上を走る曲線レールを細かく分割すると、その1つ1つはほぼ直線だとみなせる。 
その微小な長さと、その近くでのh(x,y)の値とを掛け合わせたものを考えれば、それは衝立を微小な短冊状に切ったものの面積を表すことになる。 
それらを全て加算すれば、望むものが得られる。 
 
この計算をするには、コースの形がtの関数になったx(t)とy(t)で表されていると都合が良い。 
コースのスタート地点が(x(a),y(a))であり、ゴール地点が(x(b),y(b))であり、a≦t≦bであるようなtによって(x(t),y(t))で示されるようにする。 
(変数tは時刻であるかのようなイメージである) 
 
時刻tからt+Δtまでの微小時間Δt内にコース上の点が動く距離を考える。 
最初(x(t),y(t))にあった点が(x(t+Δt),y(t+Δt))にまで移動することになる。微小な時間だから、ほぼ直線的に移動したものと考える。 
すると移動距離Δlは三平方の定理により、次式のように表せる。 
<math>\Delta l=\sqrt{(x(t+ \Delta t)-x(t))^2+(y(t+ \Delta t)-y(t))^2}</math> 
 
また、ほぼ直線的に変化しているので、x(t+Δt)−x(t)は<math>\frac{dx}{dt}\Delta t</math>、y(t+Δt)−y(t)は<math>\frac{dy}{dt}\Delta t</math>と近似できる。 
<math>\Delta l=\sqrt{(\frac{dx}{dt}\Delta t)^2+(\frac{dy}{dt}\Delta t)^2}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\Delta t</math> 
 
ここで、Δtが無限に小さいと考えれば、次式のようになる。 
<math>dl=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt</math> 
 
このdlが微小時間dtに点がコース上を進む微小距離である。 
x(t)とy(t)が具体的に分かっていれば、tのみの関数として表される。(1変数の関数f(x)を積分するときのdxに相当する部分である) 
この地点でのh(x,y)の値は、tの時とt+dtの時とでほとんど同じ値なので、h(x(t),y(t))を使用する。 
 
次のようにすれば、線積分の計算ができる。 
<math>\int_{a}^{b}h(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\, dt</math> 
 

== 線積分の制約 ==
上記で説明した線積分の公式の中には、x(t)とy(t)を微分したものが出てくる。 
ということは、x(t)とy(t)とはどちらも滑らかでないと微分ができない。 
しかし、幾つかの地点で微分ができない場合は、そこでコースを分割して別々に計算して、後で足し合わせればよい。 
 

== 3次元の線積分 ==
上記の線積分を3次元に拡張することは簡単である。 
 
3変数関数U(x,y,z)を考え、3次元空間を自由に飛び回るコースで積分する。 
要するに、3次元を走る微小な長さと、その近くでのU(x,y,z)の値とを掛けせたものを端から端までの和をとる。 
 
考え方は上記と同様で、次のようにする。 
<math>\int_{a}^{b}U(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+\frac{dz}{dt}^2}\, dt</math> 
 

== ベクトル量の線積分 ==
物理学では、ベクトルの概念と組み合わさった形の別の線積分が出てくるので、これだけで線積分が完全に理解できない。 
それについては、別のページで記載する。 
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]

線積分 - 版の履歴

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Wiki: ページの作成:「== 概要 == 高校で学習する積分では、積分範囲が数直線の上に乗っていた。 つまり、1変数の関数f(x)があって、そのf(x)のグ…」

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つまり、1変数の関数f(x)があって、そのf(x)のグ…」