畳み込み積分 - 版の履歴

Wiki: /* 概要 */

2025-01-05T14:02:35Z

概要

← 古い版		2025年1月5日 (日) 23:02時点における版
5行目:		5行目:
	<math>y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math><br>		<math>y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math><br>
	<br>		<br>
	<math>y(t) = f(t)g(t) \~~quad~~ \~~mbox{あるいは }~~ \~~quad~~ y = f g</math> と記述されることもある。<br>		<math>y(t) = f(t)g(t) \, \,</math> あるいは <math>\, \, y = f g</math> と記述されることもある。<br>
	<br>		<br>
	また、以下に示すように、畳み込み積分は可換である。<br>		また、以下に示すように、畳み込み積分は可換である。<br>

Wiki: /* 概要 */

2022-06-01T13:49:45Z

概要

← 古い版		2022年6月1日 (水) 22:49時点における版
1行目:		1行目:
	== 概要 ==		== 概要 ==
	次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。<br>		次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。<br>
			<br>
	この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。<br>		この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。<br>
	<math>y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math><br>		<math>y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math><br>
	<br>		<br>
	~~また、~~<math>y(t) = f(t)g(t) \quad \mbox{あるいは } \quad y = f g</math> と記述されることもある。<br>		<math>y(t) = f(t)g(t) \quad \mbox{あるいは } \quad y = f g</math> と記述されることもある。<br>
			<br>
			また、以下に示すように、畳み込み積分は可換である。<br>
			<math>
			\begin{align}
			y(t) &= f * g = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau \\
			&= \int_{\infty}^{- \infty} {f(t - u)g(u)} (-1) du \quad \because u = t - \tau, \quad -du = d \tau \\
			&= \int_{- \infty}^{\infty} {g(u)f(t - u)} du \\
			&= g * f
			\end{align}
			</math><br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 概要 */

2022-06-01T13:30:50Z

概要

← 古い版		2022年6月1日 (水) 22:30時点における版
1行目:		1行目:
	== 概要 ==		== 概要 ==
			次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。<br>
			この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。<br>
			<math>y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math><br>
			<br>
			また、<math>y(t) = f(t)g(t) \quad \mbox{あるいは } \quad y = f g</math> と記述されることもある。<br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 畳み込み積分の計算例 */

2022-06-01T09:57:54Z

畳み込み積分の計算例

← 古い版		2022年6月1日 (水) 18:57時点における版
1行目:		1行目:
	== 概要 ==		== 概要 ==

			<br><br>

			== システムの安定性 ==
			BIBO安定条件<br>
			<math>\| x(t) \| < M \Longrightarrow \| y(t) \| < N</math><br>
			<br>
			因果性システムの線形時不変の場合、<math>\int_0^{\infty} \| g(t) \| dt < \infty</math> で安定する。<br>
	<br><br>		<br><br>

	== 畳み込み積分の計算例 ==		== 畳み込み積分の計算例 ==
			下図に示す系があるとする。<br>
			[[ファイル:Convolution Integral 1.png\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	入力関数 : <math>f(t) = 1 \quad \cdots \quad t \ge 0</math><br>		入力関数 : <math>f(t) = 1 \quad \cdots \quad t \ge 0</math><br>
	応答関数 : <math>g(t) = 2 \left( 1 - \frac{t}{5} \right)</math><br>		応答関数 : <math>g(t) = 2 \left( 1 - \frac{t}{5} \right)</math><br>
45行目:		55行目:
	\end{align}		\end{align}
	</math><br>		</math><br>
			<br>
			下図に、畳み込み積分の出力波形を示す。<br>
			[[ファイル:Convolution Integral 2.png\|フレームなし\|中央]]
			<br>
			<math>
			\begin{cases}
			y(t) &= 0 \quad \cdots \quad t < 0 \\
			y(t) &= 2t - \frac{t^2}{5} \quad \cdots \quad 0 \le t \le 5 \\
			y(t) &= 5 \quad \cdots \quad t > 0
			\end{cases}
			</math>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: ページの作成:「== 概要 ==

== 畳み込み積分の計算例 == 入力関数 : $f(t) = 1 \quad \cdots \quad t \ge 0$
応答関数 : $g(t) = 2 \left( 1 - \frac{t}{5} \right)$

$y(t) = \int_0^t {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau$ より、

$t < 0$ の時
$f(\tau)$ と $g(t - \tau)$ の重なる部分が無いため、 $y(t) = 0$

$t = 1$ の時
$\be…」$

2022-06-01T08:23:15Z

ページの作成:「== 概要 == == 畳み込み積分の計算例 == 入力関数 : <math>f(t) = 1 \quad \cdots \quad t \ge 0</math> 応答関数 : <math>g(t) = 2 \left( 1 - \frac{t}{5} \right)</math> <math>y(t) = \int_0^t {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau</math> より、 <math>t < 0</math> の時 <math>f(\tau)</math> と <math>g(t - \tau)</math> の重なる部分が無いため、<math>y(t) = 0</math> <math>t = 1</math> の時 <math> \be…」

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== 概要 ==

 

== 畳み込み積分の計算例 ==
入力関数 : <math>f(t) = 1 \quad \cdots \quad t \ge 0</math> 
応答関数 : <math>g(t) = 2 \left( 1 - \frac{t}{5} \right)</math> 
 
<math>y(t) = \int_0^t {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau</math> より、 
 
<math>t < 0</math> の時 
<math>f(\tau)</math> と <math>g(t - \tau)</math> の重なる部分が無いため、<math>y(t) = 0</math> 
 
<math>t = 1</math> の時 
<math>
\begin{align}
y(t) &= \int_0^1 {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau \\
&= \int_0^1 {f(\tau) g(1 - \tau)} d \tau \\
&= \int_0^1 {2(1 - \frac{1}{5} + \frac{\tau}{5})} d \tau \\
&= 2 \left[ \frac{4}{5} \tau + \frac{\tau^2}{10} \right]_0^1 \\
&= 2 \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{10} \right) \\
&= \frac{9}{5}
\end{align}
</math> 
 
<math>t = 5</math> の時 
<math>
\begin{align}
y(t) &= \int_0^5 {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau \\
&= \int_0^5 {f(\tau) g(5 - \tau)} d \tau \\
&= \int_0^5 {2(1 -1 + \frac{\tau}{5})} d \tau \\
&= 2 \left[ \frac{\tau^2}{10} \right]_0^5 \\
&= 2 \frac{5}{2} \\
&= 5
\end{align}
</math> 
 
<math>0 \le t \le 5</math> の時 
<math>
\begin{align}
y(t) &= \int_0^t {2(1 - \frac{t}{5} + \frac{\tau}{5})} d \tau \\
&= 2 \left[ \tau - \frac{t}{5} \tau + \frac{\tau^2}{10} \right]_0^t \\
&= 2 \left( t - \frac{t^2}{5} + \frac{t^2}{10} \right) \\
&= 2t - \frac{t^2}{5}
\end{align}
</math> 
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]