極値 - 版の履歴

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2022-01-17T07:00:34Z

概要

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	== 概要 ==		== 概要 ==
			微分の分野では、関数が極値を持つかどうかという問題をよく考える。<br>
			ここでは、極値を持つ条件とその注意点を記載する。<br>
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Wiki: /* 1変数関数の極値 */

2022-01-17T06:43:31Z

1変数関数の極値

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 * <math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} > 0</math>ならば、<math>f(x)</math>は<math>x = a</math>で極小値をとる。
 * <math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} < 0</math>ならば、<math>f(x)</math>は<math>x = a</math>で極大値をとる。
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+ただし、上記の判定方法には欠点があり、<math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} = 0</math>の時の判定ができない。<br>
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 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: ページの作成:「== 概要 ==

== 1変数関数の極値 == ==== 極値の見つけ方 ==== (微分可能な)関数 $f(x)$ が $x = a$ で極値を取るならば、 $\frac{df(a)}{dx} = 0$ である。
対偶を取れば、 $\frac{df(a)}{dx} \ne 0$ となる点は、必ずしも極値ではない。

$\frac{df(a)}{dx} = 0$ はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。
<…」

2022-01-17T05:52:22Z

ページの作成:「== 概要 == == 1変数関数の極値 == ==== 極値の見つけ方 ==== (微分可能な)関数<math>f(x)</math>が<math>x = a</math>で極値を取るならば、<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>である。 対偶を取れば、<math>\frac{df(a)}{dx} \ne 0</math>となる点は、必ずしも極値ではない。 <math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。 <…」

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== 概要 ==

 

== 1変数関数の極値 ==
==== 極値の見つけ方 ====
(微分可能な)関数<math>f(x)</math>が<math>x = a</math>で極値を取るならば、<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>である。 
対偶を取れば、<math>\frac{df(a)}{dx} \ne 0</math>となる点は、必ずしも極値ではない。 
 
<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。 
 
例えば、<math>f(x) = x^3</math>の導関数は、<math>\frac{df(x)}{dx} = 3x^2</math>である。 
<math>\frac{df(x)}{dx} = 0</math>を解くと、<math>x = 0</math>が極値点の候補として見つかるが、<math>f(x) = x^3</math>において<math>x = 0</math>は極値点ではない。 
 
これは、<math>x = \pm \frac{1}{10}</math>という点を考える時、<math>- \frac{1}{10^3} < f(0) < \frac{1}{10^3}</math>という関係が成り立つが、<math>f(0)</math>よりも大きな値を取る点と小さな値を取る点が、<math>x = 0</math>の近くにある。 
0のどんなに近くにも<math>f(0)</math>より大きくなる点と小さくなる点の両方が存在するため、極値ではない。 
 
==== 極値の判定条件 ====
2階微分できる関数<math>f(x)</math>が存在する時、<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>かつ<math>x = a</math>の前後で<math>\frac{df(x)}{dx}</math>の符号が変化するならば、関数<math>f(x)</math>は、<math>x = a</math>で極値をとる。 
 
さらに、以下のように判定することができる。 
* <math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} > 0</math>ならば、<math>f(x)</math>は<math>x = a</math>で極小値をとる。
* <math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} < 0</math>ならば、<math>f(x)</math>は<math>x = a</math>で極大値をとる。

 

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