Wiki: /* 例題 3 */

2023-09-04T08:17:51Z

例題 3

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	<math>y = C_{1} + C_{2} e^{-x} + C_{3} x e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任意定数 } )</math>		<math>y = C_{1} + C_{2} e^{-x} + C_{3} x e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任意定数 } )</math>
			<br>
			==== 例題 4 ====
			以下の微分方程式の一般解を求めよ。
			<math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} + 3 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} + 3 \frac{dy}{dx} + y = 0</math>

			解答:
			与式の特性方程式は、次のようになる。
			<math>\lambda^{3} + 3 \lambda^{2} + 3 \lambda + 1 = 0</math>

			これを解くと、 <math>(\lambda + 1)^{3} = 0</math> より、
			<math>\lambda = -1 \quad ( \mbox{ 3 重解 } )</math> となる。

			これより、基本解は <math>(e^{-x}, \, x e^{-x}, \, x^{2} e^{-x})</math> となる。
			したがって、一般解は次のようになる。
			<math>y = C_{1} e^{-x} + C_{2} x e^{-x} + C_{3} x^{2} e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任意定数 } )</math>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 概要 */

2023-09-04T07:49:10Z

概要

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	<math>b(x) = 0</math> の時、同次方程式であるという。<br>		<math>b(x) = 0</math> の時、同次方程式であるという。<br>
	<br>		<br>
	2階線形常微分方程式ならば、 <math>\frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(t)</math> である。<br>		2階線形常微分方程式ならば、 <math>\frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)</math> である。<br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: ページの作成:「== 概要 == 3階以上の常微分方程式は、基本的には2階常微分方程式と変わらない。

より高階の微分方程式 $\frac{d^{n} f(x)}{dx^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} f(x)}{dx^{n - 1}} + a_{n - 2} \frac{d^{n - 2} f(x)}{dx^{n - 2}} + \cdots + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)$ の形の常微分方程式を考える。

このように、最高階の常微分方程式について解かれているものを…」

2023-09-04T07:48:29Z

ページの作成:「== 概要 == 3階以上の常微分方程式は、基本的には2階常微分方程式と変わらない。 より高階の微分方程式 <math>\frac{d^{n} f(x)}{dx^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} f(x)}{dx^{n - 1}} + a_{n - 2} \frac{d^{n - 2} f(x)}{dx^{n - 2}} + \cdots + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)</math> の形の常微分方程式を考える。 このように、最高階の常微分方程式について解かれているものを…」

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== 概要 ==
3階以上の常微分方程式は、基本的には2階常微分方程式と変わらない。 
 
より高階の微分方程式 <math>\frac{d^{n} f(x)}{dx^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} f(x)}{dx^{n - 1}} + a_{n - 2} \frac{d^{n - 2} f(x)}{dx^{n - 2}} + \cdots + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(x)</math> の形の常微分方程式を考える。 
 
このように、最高階の常微分方程式について解かれているものを正規形と呼ぶ。 
<math>b(x) = 0</math> の時、同次方程式であるという。 
 
2階線形常微分方程式ならば、 <math>\frac{d^{2} f(x)}{dx^{2}} + a_{1} \frac{df(x)}{dx} + a_{0} x = b(t)</math> である。 
 

== 高階定数係数線形同次常微分方程式 ==
n階定係数線形同次微分方程式 <math>\frac{d^{n} f(x)}{dx} + a_{1} \frac{d^{n - 1} f(x)}{dx} + \cdots + a_{n - 1} \frac{df(x)}{dx} + a_{n} f(x) = 0</math> の一般解は、 
基本解(n個の線形独立な解の組) <math>(y_{1}, y_{2}, \cdots , y_{n})</math> を用いて、次式のように表現することができる。 
 
<math>y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + \cdots + C_{n} y_{n} \qquad (C_{i} : \mbox{ 任意定数 } )</math> 
 
n階定係数線形同次微分方程式の解全体は、n次元線形空間をつくる。 
 
この方程式の基本解(n個の線形独立な解の組) <math>(y_{1}, y_{2}, \cdots , y_{n})</math> は、 
この方程式の特性方程式 <math>\lambda_{n} + a_{1} \lambda_{n - 1} + \cdots + a_{n -1} \lambda + a_{n} = 0</math> を解くことによって求めることができる。 
 

== 高階定数係数線形同次常微分方程式の例題 ==
==== 例題 1 ====
以下の微分方程式の一般解を求めよ。
<math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} - 3 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} + 2 \frac{dy}{dx} = 0</math>

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
<math>\lambda^{3} - 3 \lambda^{2} + 2 \lambda = 0</math>

これを解くと、 <math>\lambda (\lambda^{2} - 3 \lambda + 2) = 0</math> より、 <math>\lambda (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0</math> より、 <math>\lambda = 0, 1, 2</math> となる。

これより、基本解は <math>(1, \, e^{x}, \, e^{2x})</math> となる。
したがって、一般解は次のようになる。

<math>y = C_{1} + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{2x} \qquad (C_{i} : \mbox{ 任意定数 })</math>
 
==== 例題 2 ====
以下の微分方程式の一般解を求めよ。
<math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} - 2 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} - \frac{dy}{dx} + 2y = 0</math>

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
<math>\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - \lambda + 2 = 0</math>

これを解くと、 <math>\lambda^{2} (\lambda - 2) - (\lambda - 2) = 0</math> より、
<math>
\begin{array}{lcl}
(\lambda^{2} - 1)(\lambda - 2) &= 0 \\
(\lambda + 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0
\end{array}
</math>
より、 <math>\lambda = -1, \, 1, \, 2</math> となる。

これより、基本解は <math>(e^{-x}, \, e^{x}, \, e^{2x})</math> となる。
したがって、一般解は次のようになる。

<math>y = C_{1} e^{-x} + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{2x} \qquad (C_{i} : \mbox{ 任意定数 })</math>
 
==== 例題 3 ====
以下の微分方程式の一般解を求めよ。
<math>\frac{d^{3} y}{dx^{3}} + 2 \frac{d^{2} y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} = 0</math>

解答:
与式の特性方程式は、次のようになる。
<math>\lambda^{3} + 2 \lambda^{2} + \lambda = 0</math>

これを解くと、 <math>\lambda (\lambda + 1)^{2} = 0</math> より、
<math>\lambda = 0, \, \lambda = -1 \quad ( \mbox{ 重解 } )</math>
となる。

これより、基本解は <math>(1, \, e^{-x}, \, x e^{-x})</math> となる。
したがって、一般解は次のようになる。

<math>y = C_{1} + C_{2} e^{-x} + C_{3} x e^{-x} \qquad ( C_{i} : \mbox{ 任意定数 } )</math>
 

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[[カテゴリ:解析学]]

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