応用数学 - 定数係数2階線形常微分方程式 - 版の履歴

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2023-09-01T20:26:37Z

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← 古い版		2023年9月2日 (土) 05:26時点における版
(相違点なし)

Wiki: /* 同次方程式の解 */

2023-07-21T15:08:26Z

同次方程式の解

← 古い版		2023年7月22日 (土) 00:08時点における版
105行目:		105行目:
	<br>		<br>
	基本解 (y1, y2) で全ての解関数yを表現できる。<br>		基本解 (y1, y2) で全ての解関数yを表現できる。<br>
			<br>
			[[ファイル:Solution of Homogeneous Equations 1.png\|フレームなし\|中央]]
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 未定係数法 */

2023-04-04T06:57:20Z

未定係数法

@@ 308行目: / 308行目: @@
 == 未定係数法 ==
 定数係数2階線形常微分方程式 (非同次方程式) <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + a \frac{dy}{dx} + by = g(x)</math> において、<br>
 g(x)が特定の形（例えば、xの多項式やe<sup>ax</sup>の形）の場合、特殊解v(x)の形を推定できる場合がある。<br>
@@ 369行目: / 370行目: @@
 ** <math>\lambda = \alpha \pm i \beta</math> の時
 **: <math>v(x) = x e^{\alpha x} \{ P_n(x) \cos{\beta x} + Q_n(x) \sin{\beta x} \}</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 定数変化法 */

2023-04-04T06:28:24Z

定数変化法

@@ 305行目: / 305行目: @@
 したがって、与式の一般解は次式となる。<br>
 <math>y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} + \frac{2x - 3}{4}</math><br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 定数係数2階線形常微分方程式 (同時方程式)の例題 */

2023-04-04T03:08:09Z

定数係数2階線形常微分方程式 (同時方程式)の例題

@@ 229行目: / 229行目: @@
 <br><br>
-== 定数係数2階線形常微分方程式 (同時方程式)の例題 ==
+== 定数係数2階線形常微分方程式 (同次方程式)の例題 ==
   例題 1 ：
   以下の微分方程式の一般解を求めよ。
@@ 240行目: / 240行目: @@
 よって、一般解は次式となる。<br>
 <math>y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \quad (C_1, \, C_2 : \mbox{ 任 意 定 数 })</math><br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 例題1 (3)の解答 */

2023-04-04T01:04:30Z

例題1 (3)の解答

@@ 182行目: / 182行目: @@
 <br>
 ゆえに、 <math>y = 2 e^x - e^{2x}</math> は、上式(1)の解である。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 非同次方程式の解 */

2023-04-03T11:39:48Z

非同次方程式の解

@@ 113行目: / 113行目: @@
   次式のように記述できる。
   <math>y = (C_1 y_1 + C_2 y_2) + v \quad (C_1, C_2 : \mbox{ 実 数 } )</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 解関数の線形独立性 */

2023-04-03T11:02:29Z

解関数の線形独立性

@@ 90行目: / 90行目: @@
 (1) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 独 立 } \iff W[y_1, \, y_2] \ne 0</math><br>
 (2) <math>y_1, \, y_2 \mbox{ が 線 形 従 属 } \iff W[y_1, \, y_2] = 0</math><br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 定数係数2階線形常微分方程式(同次方程式)の解全体の集合 */

2023-04-03T07:57:48Z

定数係数2階線形常微分方程式(同次方程式)の解全体の集合

@@ 47行目: / 47行目: @@
   この時、次の形も同次方程式の解である。
   <math>y = C_1 y_1 + C_2 y_2 \qquad (C1, \ C2 : \mbox{ 実 数 } )</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 概要 */

2023-04-03T07:37:46Z

概要

← 古い版		2023年4月3日 (月) 16:37時点における版
3行目:		3行目:
	この時、以下の形の微分方程式をN階線形常微分方程式という。<br>		この時、以下の形の微分方程式をN階線形常微分方程式という。<br>
	<br>		<br>
	<math>\frac{dy^{(n)}}{dx} + f_1(x) \frac{dy^{(n - 1)}}{dx} + \cdots + f_{(n - 1)}(x) \frac{dy}{dx} + f_n(x)y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math><br>		<math>\frac{d^n y}{dx^n} + f_1(x) \frac{d^{(n - 1)} y}{dx^{(n - 1)}} + \cdots + f_{(n - 1)}(x) \frac{dy}{dx} + f_n(x)y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math><br>
	<br>		<br>
	上式において、<math>g(x) = 0</math> の時を<u>同次方程式</u>、<math>g(x) \ne 0</math> の時を<u>非同次方程式</u>と呼ぶ。<br>		上式において、<math>g(x) = 0</math> の時を<u>同次方程式</u>、<math>g(x) \ne 0</math> の時を<u>非同次方程式</u>と呼ぶ。<br>

Wiki: /* 解の存在と一意性 */

2023-04-03T07:36:52Z

解の存在と一意性

← 古い版		2023年4月3日 (月) 16:36時点における版
17行目:		17行目:

	初期条件：		初期条件：
	<math>y(a) = b_0, \quad \frac{dy(a)}{dx} = b_1, \quad \cdots , \quad \frac{dy^{(n - 1)}(a)}{dx} = b_{(n - 1)}</math>		<math>y(a) = b_0, \quad \frac{dy(a)}{dx} = b_1, \quad \cdots , \quad \frac{d^{(n - 1)} y(a)}{dx^{(n - 1)}} = b_{(n - 1)}</math>

	N階線形常微分方程式：		N階線形常微分方程式：
	<math>\frac{dy^{(n)}}{dx} + f_1(x) \frac{dy^{(n - 1)}}{dx} + \cdots + f_{(n - 1)}(x) \frac{dy}{dx} + f_n(x)y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math>		<math>\frac{d^n y}{dx^n} + f_1(x) \frac{d^{(n - 1)} y}{dx^{(n - 1)}} + \cdots + f_{(n - 1)}(x) \frac{dy}{dx} + f_n(x)y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math>
	<br>		<br>
	存在定理により、N階線形常微分方程式の解の存在が保障され、当該初期条件を満たすものがただ1つに決まる。<br>		存在定理により、N階線形常微分方程式の解の存在が保障され、当該初期条件を満たすものがただ1つに決まる。<br>
26行目:		26行目:
	<br>		<br>
	存在定理により、当該問題を解くための数値解析プログラムを作成することに対する正当性が保障される。<br>		存在定理により、当該問題を解くための数値解析プログラムを作成することに対する正当性が保障される。<br>
			<br><br>

			== 定数係数2階線形常微分方程式(同次方程式)の解全体の集合 ==
			以下の定数係数2階線形常微分方程式(同次方程式)について考える。<br>
			<math>\frac{d^2y}{dx^2} + f_1(x)\frac{dy}{dx} + f_2(x)y = 0 \quad \cdots \quad (*)</math><br>
			<br>
			上式の解関数全体の集合をVとする。<br>
			<math>V = \left \{ y \quad \Big \vert \quad \frac{d^2y}{dx^2} + f_1(x)\frac{dy}{dx} + f_2(x)y = 0 \right \}</math><br>
			<br>
			次に、集合Vは、実数上のベクトル空間（2次元線形空間）となること（すなわち、Vは平面ベクトル全体と同じ構造を持つこと）を記述する。<br>
			<br>
			定理1 ：
			解関数 <math>y1, \, y2 \, \in V</math> を考える。
			この時、次の関数u, vも集合Vの要素である。
			<math>(1) \ u = y_1 + y_2</math>
			<math>(2) \ v = ky_1 \quad (k : \mbox{ 実数 } )</math>
			<br>
			定理2 （重ねあわせの原理） :
			同次方程式 : <math>\frac{d^2y}{dx^2} + f_1(x)\frac{dy}{dx} + f_2(x)y = 0</math> の解である2つの関数y1, y2を考える。
			この時、次の形も同次方程式の解である。
			<math>y = C_1 y_1 + C_2 y_2 \qquad (C1, \ C2 : \mbox{ 実数 } )</math>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 解の存在と一意性 */

2023-04-03T07:05:16Z

解の存在と一意性

← 古い版		2023年4月3日 (月) 16:05時点における版
17行目:		17行目:

	初期条件：		初期条件：
	<math>y(a) = b_0, \quad \frac{dy(a)}{dx} = b_1, \cdots \frac{dy^{(n - 1)}(a)}{dx} = bn-1</math>		<math>y(a) = b_0, \quad \frac{dy(a)}{dx} = b_1, \quad \cdots , \quad \frac{dy^{(n - 1)}(a)}{dx} = b_{(n - 1)}</math>

	N階線形常微分方程式：		N階線形常微分方程式：
	<math>\frac{dy^{(n)}}{dx} + f_1(x) \frac{dy^{(n - 1)}}{dx} + \cdots + f_{(n - 1)}(x) \frac{dy}{dx} + f_n(x)y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math>		<math>\frac{dy^{(n)}}{dx} + f_1(x) \frac{dy^{(n - 1)}}{dx} + \cdots + f_{(n - 1)}(x) \frac{dy}{dx} + f_n(x)y = g(x) \quad \cdots \quad (1)</math>
			<br>
			存在定理により、N階線形常微分方程式の解の存在が保障され、当該初期条件を満たすものがただ1つに決まる。<br>
			1階常微分方程式の初期条件は1つであり、N階常微分方程式では、N個の初期条件がないと解は一意に定まらない。<br>
			<br>
			存在定理により、当該問題を解くための数値解析プログラムを作成することに対する正当性が保障される。<br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 概要 */

2023-04-03T07:01:29Z

概要

@@ 1行目: / 1行目: @@
 == 概要 ==
 <br><br>
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ページの作成:「== 概要 == <br><br> __FORCETOC__ カテゴリ:解析学」

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== 概要 ==

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