ベクトル - 位置ベクトル - 版の履歴

Wiki: /* 3点が一直線上にある条件 */

2022-05-26T08:51:24Z

3点が一直線上にある条件

← 古い版		2022年5月26日 (木) 17:51時点における版
17行目:		17行目:
	3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する		3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する
	<br>		<br>
			例. <math>\overrightarrow{OP} = 2 \vec{a} +3 \vec{b}, \, \overrightarrow{OQ} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b}, \, \overrightarrow{OR} = \vec{a} + 10 \vec{b}</math> の時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを証明する。<br>
			<br>
			<math>\overrightarrow{PQ} = 3 \vec{a} - 4 \vec{b} - (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = \vec{a} - 7 \vec{b}</math><br>
			<math>\overrightarrow{PR} = \vec{a} + 10 \vec{b} - (2 \vec{a} + 3 \vec{b}) = - \vec{a} + 7 \vec{b}</math><br>
			<math>\overrightarrow{PR} = - \overrightarrow{PQ}</math> が成り立つ。<br>
			ゆえに、3点P、Q、Rは一直線上にある。<br>
			<br>

	==== 内分点の位置ベクトル ====		==== 内分点の位置ベクトル ====
	下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>		下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>

Wiki: /* 例題5. 内心の位置ベクトル */

2022-05-25T21:00:52Z

例題5. 内心の位置ベクトル

@@ 288行目: / 288行目: @@
 <br>
 したがって、<math>\boldsymbol{ \vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}}</math> となる。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 例題4. 外心の位置ベクトル */

2022-05-25T04:40:07Z

例題4. 外心の位置ベクトル

← 古い版		2022年5月25日 (水) 13:40時点における版
190行目:		190行目:
	<math>\triangle ABC</math> に <math>\angle A</math> から余弦定理を用いる。<br>		<math>\triangle ABC</math> に <math>\angle A</math> から余弦定理を用いる。<br>
	余弦定理 : <math>BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\theta}</math><br>		余弦定理 : <math>BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\theta}</math><br>
	ベクトルの内積 : <math>\vec{b} \cdot \vec{c} = \| \vec{b} \| \| \vec{c} \| \cos{\theta} = AB \, AC \, \cos{\theta}</math><br>		ベクトルの内積 : <math>\vec{b} \cdot \vec{c} = \| \vec{b} \| \| \vec{c} \| \cos{\theta} = \|\overrightarrow{AB}\| \|\overrightarrow{AC}\| \cos{\theta}</math><br>
	<br>		<br>
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
	AB \~~cdot~~ AC ~~\cdot~~ \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\		\|\overrightarrow{AB}\| \|\overrightarrow{AC}\| \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\
	&= \frac{9 + 25 - 49}{2} \\		&= \frac{9 + 25 - 49}{2} \\
	&= - \frac{15}{2}		&= - \frac{15}{2}
200行目:		200行目:
	</math><br>		</math><br>
	<br>		<br>
	したがって、<math>\vec{b} \cdot \vec{c} = AB \~~cdot~~ AC ~~\cdot~~ \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}</math><br>		したがって、<math>\vec{b} \cdot \vec{c} = \|\overrightarrow{AB}\| \|\overrightarrow{AC}\| \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}</math><br>
	<br>		<br>
	* 2の解答		* 2の解答
209行目:		209行目:
	<math>\Leftrightarrow \left( x - \frac{1}{2} \right) \left\| \vec{b} \right\|^2 + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>		<math>\Leftrightarrow \left( x - \frac{1}{2} \right) \left\| \vec{b} \right\|^2 + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
	<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>		<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
	<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) - \frac{15}{2} y = 0 \qquad (1)</math><br>		<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) - \frac{15}{2} y = 0</math><br>
			<math>\Leftrightarrow 18x - 15y = 9</math><br>
			<math>\Leftrightarrow 6x - 5y = 3 \qquad (1)</math><br>
	<br>		<br>
	また、<math>\overrightarrow{EO}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> は直交するため、<br>		また、<math>\overrightarrow{EO}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> は直交するため、<br>
217行目:		219行目:
	<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + \left( y - \frac{1}{2} \right) \left\| \vec{c} \right\|^2 = 0</math><br>		<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + \left( y - \frac{1}{2} \right) \left\| \vec{c} \right\|^2 = 0</math><br>
	<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>		<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>
	<math>\Leftrightarrow - \frac{15}{2} x + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0 \qquad (2)</math><br>		<math>\Leftrightarrow - \frac{15}{2} x + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>
			<math>\Leftrightarrow - 15x + 50y = 25</math><br>
			<math>\Leftrightarrow - 3x + 10y = 5 \qquad (2)</math><br>
	<br>		<br>
	式(1)，(2)を連立すると、<br>		式(1)，(2)を連立すると、<br>

Wiki: /* 例題4. 外心の位置ベクトル */

2022-05-25T04:09:28Z

例題4. 外心の位置ベクトル

@@ 184行目: / 184行目: @@
 . <math>\vec{b} \cdot \vec{c}</math> を求めよ。
 . <math>\overrightarrow{AO}</math> を <math>\vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> を用いて表せ。
 <br>
 ==== 例題5. 内心の位置ベクトル ====
   内心の定義

Wiki: /* 例題5. 内心の位置ベクトル */

2022-05-24T19:24:57Z

例題5. 内心の位置ベクトル

← 古い版		2022年5月25日 (水) 04:24時点における版
177行目:		177行目:
	\end{align}		\end{align}
	</math><br>		</math><br>
			<br>
			==== 例題4. 外心の位置ベクトル ====
			<math>AB = 3, BC = 7, CA = 5</math> である△ABCがある。<br>
			<math>\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{AC} = \vec{c}, \, \triangle ABC \mbox{の外心を O }</math> とする時、以下の問いに答えよ。

			1. <math>\vec{b} \cdot \vec{c}</math> を求めよ。
			2. <math>\overrightarrow{AO}</math> を <math>\vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> を用いて表せ。
			<br>

	<br>		<br>
	==== 例題5. 内心の位置ベクトル ====		==== 例題5. 内心の位置ベクトル ====

Wiki: /* 内心の位置ベクトル */

2022-05-24T19:15:19Z

内心の位置ベクトル

← 古い版		2022年5月25日 (水) 04:15時点における版
178行目:		178行目:
	</math><br>		</math><br>
	<br>		<br>
	==== 内心の位置ベクトル ====		==== 例題5. 内心の位置ベクトル ====
	内心の定義		内心の定義

Wiki: /* 例題1. 内分点と外分点の座標 */

2022-05-24T19:04:33Z

例題1. 内分点と外分点の座標

@@ 65行目: / 65行目: @@
 <u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。<br>
 <br>
 ==== 例題1. 内分点と外分点の座標 ====
   原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
@@ 103行目: / 120行目: @@
 したがって、点Yの座標は、<math>\boldsymbol{ \left( \frac{-na_x + mb_x}{m - n}, \quad \frac{-na_y + mb_y}{m - n} \right) }</math> となる。<br>
 <br>
 ==== 例題2. 3点が一直線上にある条件 ====
   △ABCの辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCを3:1に外分する点をQ、辺CAを2:3に内分する点をRとする時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを示せ。

Wiki: /* 内心の位置ベクトル */

2022-05-24T17:26:05Z

内心の位置ベクトル

← 古い版		2022年5月25日 (水) 02:26時点における版
172行目:		172行目:
	<br>		<br>
	* 1の解答		* 1の解答
			[[ファイル:Position Vector 9.png\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	直線AIと線分BCの交点をDとすると，内心の定義より<math>\angle{BAD} = \angle{CAD}</math> である。<br>		直線AIと線分BCの交点をDとすると，内心の定義より<math>\angle{BAD} = \angle{CAD}</math> である。<br>
	角の二等分線の定理より、<math>BD:DC=c:b</math> となるから、<math>\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}</math> は次式となる。<br>		角の二等分線の定理より、<math>BD:DC=c:b</math> となるから、<math>\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}</math> は次式となる。<br>
194行目:		196行目:
	<br>		<br>
	* 2の解答		* 2の解答
			[[ファイル:Position Vector 10.png\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	<math>\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}</math>であるから、次式が求められる。<br>		<math>\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}</math>であるから、次式が求められる。<br>
	<math>		<math>

Wiki: /* 内心の位置ベクトル */

2022-05-24T17:02:12Z

内心の位置ベクトル

← 古い版		2022年5月25日 (水) 02:02時点における版
192行目:		192行目:
	<br>		<br>
	したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC}}</math> となる。<br>		したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC}}</math> となる。<br>
			<br>
			* 2の解答
			<math>\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}</math>であるから、次式が求められる。<br>
			<math>
			\begin{align}
			\overrightarrow{OI} &= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{ c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \\
			&= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \qquad \because \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}, \quad \overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} \\
			&= \frac{a + b + c}{a + b + c} \, \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \\
			&= \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b} + \frac{c}{a + b + c} \vec{c}
			\end{align}
			</math><br>
			<br>
			したがって、<math>\boldsymbol{ \vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}}</math> となる。<br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 例題3. 重心の位置ベクトル */

2022-05-24T04:32:59Z

例題3. 重心の位置ベクトル

@@ 159行目: / 159行目: @@
 \end{align}
 </math><br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 例題3. 重心の位置ベクトル */

2022-05-24T03:49:37Z

例題3. 重心の位置ベクトル

← 古い版		2022年5月24日 (火) 12:49時点における版
130行目:		130行目:
	2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、<math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> となるとき、重心の位置ベクトル<math>G(\vec{g})</math> を <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> で表せ。		2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、<math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> となるとき、重心の位置ベクトル<math>G(\vec{g})</math> を <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> で表せ。
	<br>		<br>
			* 1の解答
	[[ファイル:Position Vector 6.png\|フレームなし\|中央]]		[[ファイル:Position Vector 6.png\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	* 1の解答
	辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より<math>BM:CM = 1:1</math> であるから、<math>\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}</math> となる。<br>		辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より<math>BM:CM = 1:1</math> であるから、<math>\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}</math> となる。<br>
	また、重心の性質より、<math>AG:GM = 2:1</math> であるから、次式が求められる。<br>		また、重心の性質より、<math>AG:GM = 2:1</math> であるから、次式が求められる。<br>
147行目:		147行目:
	<br>		<br>
	* 2の解答		* 2の解答
			[[ファイル:Position Vector 7.png\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	<math>\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG}</math> であるから、次式が求められる。<br>		<math>\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG}</math> であるから、次式が求められる。<br>
	<br>		<br>
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
	\overrightarrow{OG} &= \vec{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \\		\overrightarrow{OG} &= \vec{a} + \overrightarrow{AG} \\
			&= \vec{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AG} = \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} + \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AC} \\
	&= \vec{a} + \frac{1}{3} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{1}{3} \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \\		&= \vec{a} + \frac{1}{3} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{1}{3} \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \\
	&= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}		&= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}

Wiki: /* 例題3. */

2022-05-24T03:00:39Z

例題3.

← 古い版		2022年5月24日 (火) 12:00時点における版
119行目:		119行目:
	以上より、<math>\overrightarrow{PR} = \frac{2}{5} \overrightarrow{PQ}</math> であり、P、Q、Rは同一直線上にある。<br>		以上より、<math>\overrightarrow{PR} = \frac{2}{5} \overrightarrow{PQ}</math> であり、P、Q、Rは同一直線上にある。<br>
	<br>		<br>
	==== 例題3. ====		==== 例題3. 重心の位置ベクトル ====
	重心の定義		重心の定義

155行目:		155行目:
	&= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}		&= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}
	\end{align}		\end{align}
	</math>		</math><br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 例題2. 3点が一直線上にある条件 */

2022-05-24T02:59:57Z

例題2. 3点が一直線上にある条件

@@ 118行目: / 118行目: @@
 <br>
 以上より、<math>\overrightarrow{PR} = \frac{2}{5} \overrightarrow{PQ}</math> であり、P、Q、Rは同一直線上にある。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 内分点と外分点の位置ベクトル */

2022-05-23T23:12:34Z

内分点と外分点の位置ベクトル

← 古い版		2022年5月24日 (火) 08:12時点における版
7行目:		7行目:
	例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、<math>OA:AX = 3:2</math>であるとする。<br>		例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、<math>OA:AX = 3:2</math>であるとする。<br>
	この時、<math>\overrightarrow{OX}</math>は、<math>\overrightarrow{OA}</math>を伸縮することによって表すことができ、<math>\overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}</math> と書くことができる。<br>		この時、<math>\overrightarrow{OX}</math>は、<math>\overrightarrow{OA}</math>を伸縮することによって表すことができ、<math>\overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}</math> と書くことができる。<br>
			[[ファイル:Position Vector 1.png\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	==== 3点が一直線上にある条件 ====		==== 3点が一直線上にある条件 ====
18行目:		19行目:
	==== 内分点の位置ベクトル ====		==== 内分点の位置ベクトル ====
	下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>		下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
			[[ファイル:Position Vector 2.png\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
34行目:		37行目:
	2点<math>A (\vec{a}), B(\vec{b})</math>を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点<math>X(\vec{x})</math>において、<math>\vec{x}</math>は、 <math>\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}</math> と表すことができる。		2点<math>A (\vec{a}), B(\vec{b})</math>を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点<math>X(\vec{x})</math>において、<math>\vec{x}</math>は、 <math>\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}</math> と表すことができる。
	<br>		<br>
	この式<math>\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}</math> の分子 <math>n\vec{a} + m\vec{b}</math> ~~は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。~~<br>		この式<math>\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}</math> の分子 <math>n\vec{a} + m\vec{b}</math> は、上図の太線で表したように、下図のようにたすき掛けのような形になっている。<br>
			[[ファイル:Position Vector 3.png\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	==== 外分点の位置ベクトル ====		==== 外分点の位置ベクトル ====
	下図のように、点Oに関して2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>		下図のように、点Oに関して2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
			[[ファイル:Position Vector 4.png\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}

Wiki: /* 例題1. 内分点と外分点の座標 */

2022-05-23T23:09:25Z

例題1. 内分点と外分点の座標

@@ 96行目: / 96行目: @@
 </math><br>
 したがって、点Yの座標は、<math>\boldsymbol{ \left( \frac{-na_x + mb_x}{m - n}, \quad \frac{-na_y + mb_y}{m - n} \right) }</math> となる。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 外分点の位置ベクトル */

2022-05-23T16:12:05Z

外分点の位置ベクトル

@@ 58行目: / 58行目: @@
 また、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> は、分母・分子にー1を乗算することにより、<math>\vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}</math>とも書けるため、<br>
 <u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 外分点の位置ベクトル */

2022-05-22T16:55:48Z

外分点の位置ベクトル

← 古い版		2022年5月23日 (月) 01:55時点における版
57行目:		57行目:
	この式では、<u>"m:nに外分すること"</u>は、<u>"m:-nに内分すること"</u>と等しいことが分かる。<br>		この式では、<u>"m:nに外分すること"</u>は、<u>"m:-nに内分すること"</u>と等しいことが分かる。<br>
	また、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> は、分母・分子にー1を乗算することにより、<math>\vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}</math>とも書けるため、<br>		また、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> は、分母・分子にー1を乗算することにより、<math>\vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}</math>とも書けるため、<br>
	<u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。		<u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。<br>
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Wiki: /* 内分点の位置ベクトル */

2022-05-22T16:49:46Z

内分点の位置ベクトル

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 この式<math>\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}</math> の分子 <math>n\vec{a} + m\vec{b}</math> は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。<br>
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Wiki: ページの作成:「== 概要 ==

== 内分点と外分点の位置ベクトル == ==== ベクトルの伸縮 ==== 例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、 $OA:AX = 3:2$ であるとする。
この時、 $\overrightarrow{OX}$ は、 $\overrightarrow{OA}$ を伸縮することによって表すことができ、 $\overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}$ と書くことができる。

==== 3点…」

2022-05-22T15:03:12Z

ページの作成:「== 概要 == == 内分点と外分点の位置ベクトル == ==== ベクトルの伸縮 ==== 例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、<math>OA:AX = 3:2</math>であるとする。 この時、<math>\overrightarrow{OX}</math>は、<math>\overrightarrow{OA}</math>を伸縮することによって表すことができ、<math>\overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}</math> と書くことができる。 ==== 3点…」

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== 概要 ==

 

== 内分点と外分点の位置ベクトル ==
==== ベクトルの伸縮 ====
例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、<math>OA:AX = 3:2</math>であるとする。 
この時、<math>\overrightarrow{OX}</math>は、<math>\overrightarrow{OA}</math>を伸縮することによって表すことができ、<math>\overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}</math> と書くことができる。 
 
==== 3点が一直線上にある条件 ====
3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル<math>\overrightarrow{AC}</math>が<math>\overrightarrow{AB}</math>を伸縮することにより表すことができる場合である。 
つまり、<math>\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在することである。 
 
3点が一直線上にある条件

3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する
 
==== 内分点の位置ベクトル ====
下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。 
<math>
\begin{align}
\vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\
&= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベクトルの分解 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベクトルの伸縮 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始点を O にする } \\
&= \left( 1 - \frac{m}{m + n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}
\end{align}
</math> 
 
内分点の位置ベクトル

2点<math>A (\vec{a}), B(\vec{b})</math>を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点<math>X(\vec{x})</math>において、<math>\vec{x}</math>は、 <math>\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}</math> と表すことができる。
 
この式<math>\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}</math> の分子 <math>n\vec{a} + m\vec{b}</math> は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。 
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]