極座標のソースを表示

== 概要 ==
極座標とは、n次元ユークリッド空間Rn上で定義され、1個の動径rとn − 1個の偏角θ1, ..., θn−1からなる座標系のことである。<br>
点S(0, 0, x3, ..., xn)を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、<br>
点Sにおいては、ヤコビアンが0となってしまうため、一意的な極座標表現は不可能である。<br>
これは、点Sにおける偏角が定義できないことからも明らかである。<br>
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== 円座標 ==
2次元ユークリッド空間R2における極座標は円座標と呼ばれ、1つの動径座標と一つの角度座標からなる最も単純な極座標である。<br>
rθ平面、極座標平面(または平面極座標)ともいう。<br>
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特異点は(r, θ) = (0, θ)、すなわち、xy座標での原点(x, y) = (0, 0)である。<br>
2次元ベクトル空間にも定義できることから、複素数体C上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。<br>
その場合、オイラーの公式を利用してz = reiθと表す。<br>
円座標平面上で偏角を限定しない場合、xy平面上で円を描く。<br>
<br>
円座標(r, θ)から直交直線座標(x, y)への変換は次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta \\
\end{cases}
</math><br>
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角度座標の範囲を<math>-\pi < \theta \le \pi</math>とする場合、直交直線座標から円座標への変換は次式で与えられる。<br>
ここで、sgnは符号関数である。<br>
<math>
\begin{cases}
r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
\theta &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
原点(x,y) = (0,0)において、特異性があり、分母が0となるためθが定まらない。<br>
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== 円柱座標 ==
円座標で(0, 0)を除くXY平面上の全ての点を表現できることから、これにZ軸を加えれば、XYZ空間が表現できる。<br>
これを円柱座標という。<br>
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円柱座標空間上(RθZ空間上)で、θとZを限定しない場合、XYZ空間上で円柱を描く。<br>
また、円柱座標空間上の特異点はZ軸上の全ての点である。<br>
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円筒座標(r, θ, z) から直交直線座標(x, y, z)への変換は次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta \\
z &= z
\end{cases}
</math><br>
<br>
直交直線座標から円筒座標への変換は、次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
\theta &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
z      &= z
\end{cases}
</math><br>
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== 球座標 ==
3次元ユークリッド空間R3における極座標である。球面座標ともいう。<br>
1個の動径rと2個の偏角θ、φによって表現される。(下図を参照)<br>
[[ファイル:Analysis Polar Coordinates 1.jpg|フレームなし|中央]]
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球座標において、動径を固定して、2個の偏角を動かせば、XYZ空間上で球を描く。<br>
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球座標から直交直線座標への変換は、次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
x &= r \sin \theta \cos \phi \\
y &= r \sin \theta \sin \phi \\
z &= r \cos \theta \\
\end{cases}
</math><br>
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直交直線座標から球座標への変換は、次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\
\theta &= \arccos \left ( \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \right ) \\
\phi   &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right )
\end{cases}
</math><br>
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Z軸上の<math>(x, y) = (0, 0)</math>において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。<br>
原点においては、θも定まらない。<br>
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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]