統計学 - 連続型確率分布のソースを表示

== 概要 ==

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== 確率密度 ==
離散型でのサンプル数を増加させて、各区間の幅を減少させた時のヒストグラムの極限 (幅を0に近付ける) が連続型での確率密度の曲線になる。<br>
連続型での確率密度の値は、離散型でのヒストグラムの縦軸の値に相当する。<br>
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離散型での確率関数Piの代わりに、連続型では確率密度 <math>f(x)</math> を用いる。<br>
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連続型での確率密度 <math>f(x)</math> は、<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> と積分することにより確率となる。<br>
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確率密度 <math>f(x)</math> 単体は、各xの値の発生確率に比例する相対値の意味である。<br>
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例えば、サイコロの目が <math>X = 1, 2, 3, 4, 5, 6</math> ではなく、0～6の間の実数値とする場合、0～6の間の実数は無限個 (全体集合の個数 <math>n(U) = \infty</math> ) となる。<br>
つまり、0～6の間の実数Xを1つ取る時、その確率は、<math>\dfrac{1}{n(U)} = \dfrac{1}{\infty} = 0</math> となる。<br>
連続型では、ある実数1つを取る確率は0となる。<br>
<br>
しかし、<math>1 \le x \le 3</math> の実数の範囲とする時、その確率は、<math>\dfrac{1 \le x \le 3}{0 \le x \le 6} = \dfrac{1}{3}</math> となる。<br>
<br>
連続型では、離散型での確率関数Piで確率が計算できない。(実数1つの確率が連続型では必ず0のため)<br>
<br>
連続型では、次式のように、実数の範囲の確率を積分で考える。<br>
つまり、確率密度関数f(x)の面積で確率を考える。<br>
<math>P(a \le x \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math><br>
<br>
* 離散型では全確率関数の和 (= 1)
*: <math>\sum_{i=1}^{n} P_i = 1</math>
* 連続型では実数の全範囲の積分 (= 1)
*: <math>P(-\infty \le x \le \infty) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1</math>
<br><br>

== 累積分布関数 ==
* 離散型での累積分布関数
*: xより小さい確率変数の実現値xiに対応する確率関数Piの和
*: <math>F(x) = \sum_{x_i \le x} P_i</math>
* 連続型での累積分布関数
*: <math>F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt</math>
<br>
==== 累積分布関数のグラフ ====
連続型での累積分布関数<br>
<math>F(a) = \int_{-\infty}^{a} f(t) \, dt</math><br>
<br>
[[ファイル:Continuous Probability Distribution 2.png|フレームなし|中央]]
<br>
==== 累積分布関数の性質 ====
累積分布関数F(x)は、単調に増加する。<br>
<math>a \le b</math> ならば、<math>F(a) \le F(b)</math><br>
<br>
<math>F(\infty) = 0, \quad F(\infty) = 1</math><br>
<br>
<math>
\begin{align}
P(a \le x \le b) &= \int_{a}^{b} f(x) \, dx \\
&= \int_{-\infty}^{b} f(x) \, dx - \int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx \\
&= F(b) - F(a)
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== 連続型確率分布の期待値 ==
* 離散型での期待値
*: <math>\mu = E[X] = \sum_{i=1}{n} x_i \cdot P_i = x_1 P_1 + x_2 P_2 + \cdots + x_n P_n</math>
* 連続型での期待値
*: <math>\mu = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx</math>
<br><br>

== 連続型確率分布の分散 ==
* 離散型での分散
*: <math>\sigma^2 = V[X] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^{2} \cdot P_i = (x_1 - \mu)^{2} \cdot P_1 + (x_2 - \mu)^{2} \cdot P_2 + \cdots + (x_n - \mu)^{2} \cdot P_n</math>
* 連続型での分散
*: <math>\sigma^2 = V[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^{2} \cdot f(x) \, dx = E[X^2] - E[X] \cdot E[X]</math>
<br>
離散型確率分布および連続型確率分布の両方において、標準偏差σは <math>\sigma = \sqrt{V[X]}</math> である。<br>
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