線形代数の基礎 - 固有値固有ベクトルのソースを表示

== 概要 ==

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== 固有値 / 固有ベクトルの定義 ==
 固有値・固有ベクトルの定義
 
 <math>A \vec{x} =\lambda \vec{x}</math>
 が成立する時、<math>\vec{x}</math> を行列Aの固有ベクトル、<math>\lambda</math> を行列Aの固有値という。
 
 ただし、Aは正方行列、<math>\vec{x}</math> は <math>\vec{0}</math> でないベクトル、<math>\lambda</math> はスカラーである。
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== 固有空間の定義 ==
固有値および固有ベクトルに関連する概念として、固有空間がある。<br>
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 固有空間の定義
 
 正方行列Aの固有値 <math>\lambda</math> に対して、
 <math>W_{\lambda} = \{ \, \vec{x} \, | \, A \vec{x} = \lambda \vec{x} \, \}</math>
 で定まる線型空間 <math>W_{\lambda}</math> のことを、Aの固有値λの<u>固有空間</u>という。
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つまり、固有空間とは同じ固有値λに対応する固有ベクトルを集めた集合である。<br>
ただし、ゼロベクトルも固有空間の元である。<br>
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== 特性方程式 ==
* 固有値を求めるために必要な定理
<math>\lambda</math> が 行列Aの固有値 <math>\iff \mbox{det} (A - \lambda I) = 0</math><br>
この <math>\mbox{det} (A - \lambda I) = 0</math> を行列Aの特性方程式 (固有方程式) という。<br>
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== 固有値の求め方 ==
 例題.
 
 <math>A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}</math> の固有値と固有ベクトルを求めよ。
<br>
 解答.
 
 <math>A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 2 & 2 - \lambda \end{pmatrix}</math>
 
 したがって、特性方程式は
 <math>
 \begin{align}
 (3 - \lambda)(2 - \lambda) - 2 &= 0 \\
 \lambda^{2} - 5 \lambda + 4 &= 0 \\
 (\lambda - 1)(\lambda - 4) &= 0
 \end{align}
 </math>
 
 <math> \therefore \lambda = 1, 4</math>
<br>
したがって、固有値は <math>\lambda = 1, \, 4</math> となる。<br>
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== 固有ベクトルの求め方 ==
 例題. <math>\lambda = 1</math> に対応する固有ベクトル
 
 <math>(A - I) \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \vec{x} = 0</math>
 の解なので固有ベクトルは <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> の定数倍
<br>
 例題. <math>\lambda = 4</math> に対応する固有ベクトル
 <math>(A - 4I) \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \vec{x} = 0</math>
 の解なので固有ベクトルは <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> の定数倍
<br>
<u>※注意</u><br>
<u>3次の正方行列の場合、特性方程式が3次方程式になり、固有ベクトルを3本求める必要がある。</u><br>
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