テイラー級数展開のソースを表示

== 概要 ==
テイラー級数展開とは、そのままでは扱いにくい関数を、級数の形に近似することである。<br>
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例えば、ある点aにおける関数f(x)の振る舞いについてはよく知っているとする。<br>
aにおける関数の値、関数のグラフの傾きの値、2階微分の値、3階微分の値など、それらの値をを使用して、<br>
aからわずかに離れたx地点での関数の値f(x)を言い当てることができるか、というのがテーマである。<br>
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このような直接的ではない情報を、下式の右辺のように計算すれば、それができる。<br>
xとaとの間のわずかな距離はx−aと表せるが、これは(1)式の右辺に(x−a)や(x−a)<sup>2</sup>や(x−a)<sup>3</sup>という形で出てきている。<br>
<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^{2}+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^{3}+ \cdots</math><br>
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このようにして、関数f(x)を無限級数の和に展開して表すことができる。<br>
これを、aのまわり(x=aにおける)でのテイラー級数展開と呼ぶ。<br>
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もし、aとして0を選ぶ場合(原点のまわりでのテイラー級数展開)を、マクローリン級数展開と呼ぶ。<br>
<math>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^{2}+\frac{1}{3!}f'''(0)x^{3}+ \cdots</math><br>
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== 近似でよく利用される形 ==
上式に繰り返し出てくる(x−a)の部分はaからの微妙なずれ具合を表している。<br>
そのずれ具合をhとして、<math>h=x-a</math>と置いて式を書き換える。<br>
また、<math>x=a+h</math>とも記述できるので、左辺も置き換えると次式のようになる。(より単純化される)<br>
<math>f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\frac{1}{2!}f''(a)h^{2}+\frac{1}{3!}f'''(a)h^{3}+ \cdots</math><br>
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== 具体例 ==
指数関数や三角関数をマクローリン級数展開すると次のようになる。
これらの関数が単純な和で表現できるのは、これらの収束半径は無限大だからである。つまり、xの値にかかわらず、常に成り立つ関係である。
<math>e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+ \cdots</math><br>
<math>\sin x=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}+ \cdots</math><br>
<math>\cos x=\frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}+ \cdots</math><br>
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指数関数の逆関数である対数関数において、logxに0を代入することはできないので、原点を少しずらして、次のような関数ならば0の周りで展開できる。<br>
<math>\log (x+1)=\frac{1}{1!}x-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}-\frac{1}{4!}x^{4}+\frac{1}{5!}x^{5}- \cdots</math><br>
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== 多変数関数のテイラー級数展開 ==
多変数関数についても似たような定理が成り立っている。<br>
まず、2変数関数f(x,y)のテイラー級数展開は次のようになる。<br>
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\begin{align}
f(x+a, y+b) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y})^{n}f(x, y) \\
&= f(x, y) \\
&+ (a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y})f(x, y) \\
&+ \frac{1}{2!}(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y})^{2}f(x, y) \\
&+ \frac{1}{3!}(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y})^{3}f(x, y)
\end{align}
</math>
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次に、3変数関数f(x,y,z)の場合も同様の関係が成り立っており、次のようになる。<br>
<math>f(x+a, y+b, z+c) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y}+c\frac{\partial}{\partial z})^{n}f(x, y)</math><br>
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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]