極座標のソースを表示

== 概要 ==
極座標とは、n次元ユークリッド空間Rn上で定義され、1個の動径rとn − 1個の偏角θ1, ..., θn−1からなる座標系のことである。<br>
点S(0, 0, x3, ..., xn)を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、<br>
点Sにおいては、ヤコビアンが0となってしまうため、一意的な極座標表現は不可能である。<br>
これは、点Sにおける偏角が定義できないことからも明らかである。<br>
<br><br>

== 円座標 ==
2次元ユークリッド空間R2における極座標は円座標と呼ばれ、1つの動径座標と一つの角度座標からなる最も単純な極座標である。<br>
rθ平面、極座標平面(または平面極座標)ともいう。<br>
<br>
特異点は(r, θ) = (0, θ)、すなわち、xy座標での原点(x, y) = (0, 0)である。<br>
2次元ベクトル空間にも定義できることから、複素数体C上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。<br>
その場合、オイラーの公式を利用してz = reiθと表す。<br>
円座標平面上で偏角を限定しない場合、xy平面上で円を描く。<br>
<br>
円座標(r, θ)から直交直線座標(x, y)への変換は次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
角度座標の範囲を<math>-\pi < \theta \le \pi</math>とする場合、直交直線座標から円座標への変換は次式で与えられる。<br>
ここで、sgnは符号関数である。<br>
<math>
\begin{cases}
r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
\theta &= \operatorname{sgn}(y) \cos^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
原点(x,y) = (0,0)において、特異性があり、分母が0となるためθが定まらない。<br>
<br>
==== ヤコビアン ====
2重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算してdxdyとdrdθの関係式を求める必要がある。<br>
<math>
\begin{align}
J &= 
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix} \\
  &= 
\begin{vmatrix}
\cos{\theta} & -r \sin{\theta} \\
\sin{\theta} & r \cos{\theta}
\end{vmatrix} \\
  &= r \cos^{2}{\theta} + r \sin^{2}{\theta} \\
  &= r
\end{align}
</math><br>
したがって、<math>dxdy = r dr d \theta</math>となる。<br>
<br>
==== 例1. 円の積分 ====
<u>以下の2重積分を求めよ。</u><br>
<math>\iint\limits_D xy \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) | 1 \le x^{2} + y^{2} \le 4, \ x \ge 0, \ y \ge 0 \}</math><br>
<br>
このように円が含まれる場合は、極座標変換 <math>x = r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta}(r \ge 0, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。<br>
積分範囲は、<math>1 \le r^{2} \le 4, \, r \cos{\theta} \ge 0, \, r \sin{\theta} \ge 0</math>となり、<math>r \ge 0</math>のため、<math>1 \le r \le 2, \, \cos{\theta} \ge 0, \, \sin{\theta} \ge 0</math>となる。<br>
<math>\cos{\theta} \ge 0</math>かつ<math>\sin{\theta} \ge 0</math>を満たすθは、<math>0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}</math>なので、<br>
変換後の積分範囲D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) | 1 \le r \le 2, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \}</math>の形に変形でき、2重積分を計算することができる。<br>
<math>
\begin{align}
& \iint_D xy \ dxdy \\
=& \iint_{D'} r^3 \sin{\theta} \cos{\theta} \ drd \theta \\
=& \int^2_1 r^3 \ dr \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{\theta} \cos{\theta} \ d \theta \\
=& \int^2_1 r^3 \ dr \ \frac{1}{2} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{2 \theta} \ d \theta \\
=& \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]^2_1 \ \frac{1}{2} \left[ - \frac{1}{2} \cos 2 \theta \right]^{ \frac{\pi}{2} }_0 \\
=& (4 - \frac{1}{4}) \ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \\
=& \frac{15}{4} \times \frac{1}{2} \\
=& \frac{15}{8}
\end{align}
</math><br>
<br>
==== 例2. 楕円の積分 ====
<u>以下の2重積分を求めよ。</u><br>
<math>\iint\limits_D xy \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1, \ x \ge 0, \ y \ge 0 \}</math><br>
<br>
積分領域Dが楕円の場合、楕円の方程式<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>の分母a<sup>2</sup>とb<sup>2</sup>を消すため、極座標変換を行い、<br>
<math>x = ar \cos{\theta}, \ y = br \sin{\theta} \ (r \ge 0, \ 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。<br>
<br>
ヤコビアンを計算して dxdyとdrdθの関係式を求める。<br>
<math>
\begin{align}
J &= 
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix} \\
  &= 
\begin{vmatrix}
a \cos{\theta} & -ar \sin{\theta} \\
b \sin{\theta} & br \cos{\theta}
\end{vmatrix} \\
  &= abr \cos^{2}{\theta} + abr \sin^{2}{\theta} \\
  &= abr
\end{align}
</math><br>
したがって、<math>dxdy = abr dr d \theta</math>となる。<br>
<br>
また、積分範囲は、<math>0 \le r^2 \le 1, \ r \cos{\theta} \ge 0, \ r \sin{\theta} \ge 0</math>となるので、<br>
変換後の積分領域D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) | 0 \le r \le 1, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \}</math>の形に変形できる。<br>
<br>
<math>
\begin{align}
 & \iint_D y \ dxdy \\
=& \iint_{D'} ab^2 r^2 \sin{\theta} \ drd \theta \\
=& ab^2 \int^1_0 r^2 \ dr \ \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin{\theta} \ d \theta \\
=& ab^2 \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]^1_0 \left[ - \cos  \theta \right]^{\frac{\pi}{2}}_0 \\
=& ab^2 \frac{1}{3} \times 1 \\
=& \frac{1}{3} ab^2
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== 円柱座標 ==
円座標で(0, 0)を除くXY平面上の全ての点を表現できることから、これにZ軸を加えれば、XYZ空間が表現できる。<br>
これを円柱座標という。<br>
<br>
円柱座標空間上(RθZ空間上)で、θとZを限定しない場合、XYZ空間上で円柱を描く。<br>
また、円柱座標空間上の特異点はZ軸上の全ての点である。<br>
<br>
円筒座標(r, θ, z) から直交直線座標(x, y, z)への変換は次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta \\
z &= z
\end{cases}
</math><br>
<br>
直交直線座標から円筒座標への変換は、次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
\theta &= \operatorname{sgn}(y) \cos^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
z      &= z
\end{cases}
</math><br>
<br><br>

== 球座標 ==
3次元ユークリッド空間R3における極座標である。球面座標ともいう。<br>
1個の動径rと2個の偏角θ、φによって表現される。(下図を参照)<br>
[[ファイル:Analysis Polar Coordinates 1.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
球座標において、動径を固定して、2個の偏角を動かせば、XYZ空間上で球を描く。<br>
<br>
球座標から直交直線座標への変換は、次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
x &= r \sin \theta \cos \phi \\
y &= r \sin \theta \sin \phi \\
z &= r \cos \theta \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
直交直線座標から球座標への変換は、次式で与えられる。<br>
<math>
\begin{cases}
r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\
\theta &= \arccos \left ( \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \right ) \\
\phi   &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right )
\end{cases}
</math><br>
<br>
Z軸上の<math>(x, y) = (0, 0)</math>において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。<br>
原点においては、θも定まらない。<br>
<br>
ヤコビアンにおいて、<math>dx dy dz</math> と <math>dr d \theta d \phi</math> の関係式は次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
J &= 
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\
\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \\
\end{vmatrix} \\
  &= 
\begin{vmatrix}
\sin \theta \cos \phi  & r \cos \theta \cos \phi & - r \sin \theta \sin \phi \\
\sin \theta \sin \phi  & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi   \\
\cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\
\end{vmatrix} \\
&= r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \cos^2 \phi \\
&= r^2 (\sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^3 \theta \sin^2 \phi + \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^3 \theta \cos^2 \phi) \\
&= r^2 \left \{ \sin^3 \theta (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) + \sin \theta \cos^2 \theta ( \sin^2 \phi + \cos^2 \phi) \right \} \\
&= r^2 (\sin^3 \theta + \sin \theta \cos^2 \theta) \\
&= r^2 \sin \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \\
&= r^2 \sin \theta
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>dxdydz = r^2 \sin \theta \, dr d \theta d \phi</math> となる。<br>
<br><br>

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]